miércoles, 27 de abril de 2011

Hallar la suma...

He aquí un pequeño problema de matemática ofrecido al lector, que leímos en un libro con distintos problemas de matemática escrito "para trazar estrategias conjuntas que permitieran a los jóvenes menores de 15 años iniciarse y crecer en la resolución de problemas":

Hallar la suma:

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11...11 (n dígitos)

La respuesta aquí.

domingo, 24 de abril de 2011

Términos singulares, las variables y el ser

Retomaremos una cuestión dejada inconclusa y que se refería a la -según Willard V. O. Quine- sustancia irreductible de la teoría de clases.

El punto partida de la cuestión también la enuncia el mencionado filósofo: ser es ser el valor de un variable, que tal vez evoque en la memoria del lector el famoso esse est percipi del filósofo irlandés, aunque suceda que para su par norteamericano será posible, como quedará claro en este post (y en este otro , atribuirle dicho ser a ciertas entidades adicionales.

El enunciado se da primeramente, en Los métodos de la lógica, una vez evidenciada la posibilidad de eliminar los términos singulares en un lenguaje formalizado, empresa en la que Russell ya se había destacado (1905).

Ahora remontémonos un poco hacia atrás. Todo el mundo sabe, por ser ésta asignatura escolar -si no ando errado en lo tocante a este punto- lo que es un enunciado. Brevemente, digamos que un enunciado puede ser verdadero o falso, lo cual constituye evidentemente su nota característica. Agreguemos que no se reduce a las palabras usadas para enunciarlo y que para considerarlo debe atenderse a las circunstancias en que tuvo lugar y quién fue su emisor, con lo cual se diferencia de las oraciones, por ejemplo. Por último: es habitual representar los enunciados, al momento de formalizarlos, mediante letras tales como p, q, r, etc. Sin embargo, nuestro tema eran los términos, los cuales adquieren representación, en las convenciones de los lógicos, mediante letras como F, G, H, etc. Muy bien, en oposición a lo dicho, a saber, la necesidad que tiene un enunciado de ser o bien verdadero o bien falso (disyunción exclusiva) sin más, en el caso de los términos, lo que ocurre es que es verdedero de un objeto, de muchos, o de ninguno. Haremos, por el momento, caso omiso de la diferencia entre los términos llamados relativos y los absolutos.

Diremos sí, en cambio, que existen términos que son generales y que ellos se oponen a los que se denominan singulares. Un termino general sirve para designar varios individuos. Pero existen casos que se pueden prestar a confusión. Si se consideran los así llamados pronombres como 'vos' o como 'yo' tenemos que sirven para nombrar diferentes personas, y no sólo una, dependiendo del emisor. Pero eso no significa que se trate de un término general, puesto que sus denotaciones son singulares, por más que dependan del tiempo y el lugar (y el hablante, claro). Así, los pronombres y nombres tales como 'López' o 'el sótano' que revisten cierta ambigüedad son términois singulares por servir para nombrar en casa caso un individuo singular. Resta una aclaración. No se trata de que tengan que nombrar necesariamente un objeto singular sino de que -usando los términos de Quine- 'parece que nombran un único objeto'. Esto es así porque existen casos como 'Apolo' o 'el actual rey de Francia' donde no nombrando un objeto determinado no por ello dejan de ser términos singulares. De allí que, por mor de la precisión, Quine asegure:

"El término singular tiene que hallarse en posiciones en las cuales sería
también coherente usar variables 'x', 'y', etc."

Así, términos como 'Sócrates', 'Cerbero', 'Piedad' y '7', presentes en oraciones como:

Sócrates es sabio,
Cerbero guarda la entrada,
La piedad es un virtud,
7 = 3 + 4,

etc., pueden darse del siguiente modo:

x es sabio
x guarda la entrada
x es un virtud
x = 3 + 4.

Tal como se desprende de análisis referidos en otros posts (como éste y éstotro), un término singular como

ɩxFx

puede representarse así:

∃y∀x (Fx ↔ x = y)

tema en el que no vamos a abundar ahora, aunque diremos que (siguiendo la sugerencia de Russell) lo que esta operación propuesta por Quine aquí hace es no modificar los términos singulares sino los contextos (las proposiciones) en los que aparece de modo que ellos tengan allí lo que Russell llamó ocurrencia primaria. Lo que importa de esto en el presente momento es que una vez así eliminados los terminos singulares "toda referencia a objetos se reduce a un canal específico: las variables de cuantificación" (op. cit.). Muy bien, ahora resta entonces ver qué ocurre con los términos generales, si es que pueden ser subrogados por variables y si, de tal modo, es factible hablar del ser de entidades de naturaleza algo más abstracta que los objetos singulares.

Sin embargo, como incluir aquí esto último nos forzaría a extender el presente post más allá de los límites que nos parecen hacen a que permanezca suficientemente ameno, lo dejaremos para una publicación futura.

martes, 12 de abril de 2011

Clasificación heteronómica

En este post se abordarán cuestiones de Heteronomía del arbitrio. Concretamiente, cierta clasificación estagirita, presente en el probablemente más conocido de los tratados éticos, que se refiere a las virtudes.

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|      Defecto       |   Término Medio   |       Exceso         |
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|        *           |       Valor       |      Cobarde         |
|--------------------|-------------------|----------------------|
|                    |       Valor       |    Temerario         |
|--------------------|-------------------|----------------------|
|  Insensibilidad    |    Moderación     |   Intemperancia      |
|--------------------|-------------------|----------------------|
|  Tacañería         |    Liberalidad    |    Prodigalidad      |
|--------------------|-------------------|----------------------|
|  Mezquindad        |    Esplendidez    |   Extravagancia      |
|                    |                   |    Vulgaridad        |

|--------------------|-------------------|----------------------|
|    Pusilanimidad   |    Magnanimidad   |   Vanidad            |
|--------------------|-------------------|----------------------|
|    Sin ambición    |         *         |   Ambición           |
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| Incapacidad de ira |    Apacibilidad   |   Iracundia          | 
|--------------------|-------------------|----------------------|
|   Disimulo         |     Veracidad     |  Fanfarronería       |
|--------------------|-------------------|----------------------|
|  Rusticidad        |   Gracia          |  Bufonería           |
|--------------------|-------------------|----------------------|
| Quisquilloso       |  Amabilidad       | Osequioso            |
| Malhumorado        |                   | 
(Adulador)          |
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| Desvergüenza       |   Vergüenza       |   Tímidez            |
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|   Malignidad       |  Indignación      |  Envidia             |
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Conviene al lector, al mirar el cuadro, recordar que la felicidad es una actividad del alma de acuerdo con la virtud y que ésta es un modo de ser elogiable por el cual el hombre se hace bueno siendo un término medio relativo a nosotros** determinado por aquello que decidiría el hombre prudente.




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Notas:
*   Según Aristóteles no tiene nombre.
**  Ética Nic., 1106b.

miércoles, 6 de abril de 2011

Pura práctica

En un espacio que acepte tratar cuestiones propias al uso especulativo de la razón pura, o a lo sumo evocar algunos de dichos tratamientos, de caracter célebre en ocasiones, no podría privarse el volcar la atención sobre aquél otro uso de la razón que, en su unión con aquél, tiene -según se dijo- la supremacía. Así, comencemos por esta pregunta:

¿Qué es el imperativo -si es que lo hay- y para quién?

Con esta pregunta, aludimos desde luego al concepto de Kant, que es definido en el primer parágrafo de su Crítica dedicada al asunto. La cuestión es más o menos como sigue. El imperativo es una regla práctica, aunque no toda regla práctica es un imperativo. Toda regla de este tipo es un «producto de la razón que prescribe la acción como medio para la realización de un propósito».

Pero conviene distinguir tales reglas de las máximas subjetivas, es decir, principios prácticos cuyo motivo no es, no proviene, de la razón pura. Así,el conjunto de los principios prácticos se subdivide en máximas subjetivas y leyes prácticas objetivas (si las hubiere). Evidentemente, los imperativos integran el conjunto de estas últimas.

El primer ejemplo usado por Kant para diferenciar ambas cosas, es el siguiente: si alguien se propone no tolerar ofensas sin venganza lo que lo determina es una máxima, más no una ley práctica.

El imperativo, pues, se diferencia de todas aquellas máximas subjetivas en que no puede estar fundado sino en razones prácticas puras, lo que lo hace valer objetivamente. Pero no por ser fundado así lo que determine la voluntad de un ser racional se llama imperativo, sino que solo es así si sucede que para tal ente no sea sólo la razón capaz de determinarlo.

A su vez, hay distintos imperativos. Los hipotéticos «determinan las
condiciones de causalidad del ente racional como causa eficiente sólo
respecto del efecto» mientras que lo categóricos «determinan solamente
la voluntad» o sea, sin importar las consecuencias. Sólo estos últimos
merecen ser llamados leyes, según lo observa Kant.

Sin duda los ejemplos apuntan a iluminar estas observaciones. No podría tomarse por ley -asegura Kant- al precepto que ordena trabajar y ahorrar para no morir de
hambre en la vejez, caso en que la voluntad se refiere a otra cosa, deseada
supuestamente por ella (es decir, no incondicionalmente); apetecer éste último que corre por cuenta del que ahorra, pues «no sea que además del patrimonio adquirido» por sí prevee otras fuentes de ayuda, «o que no espere llegar a viejo», o que piense que «sabrá pasarla mal». mientras que no halla condición alguna para la regla que ordena «no prometer nunca en falso» lo cual «sólo afecta a su voluntad», y por tanto le parece que sea un impertivo y, además categórico.

El lector habrá notado ya que el núcleo de la cuestión está en si es una
facultad de la razón pura ésta la de determinar la voluntad. Kant cree que sí, y sin eso toda su crítica carecería de sustento. Por mi parte, no quiero extenderme de más con cada una de las disquisiciones y los parajes que delimitan el derrotero de su exposición, pues para eso está la Crítica de la Razón Práctica (que se puede leer y bajar de acá).


Kant se refiere a «la materia de la ley práctica» y a la «mera
forma legislativa de las máximas
». Puede parecer un poco paradójico, tal
vez raro, que luego de definir la ley práctica como objetiva y universal,
determinada por la sola razón, se refiera a una materia suya, y que respecto
de las máximas, que denomina como subjetivas al principio, a una mera forma
legislativa. Sin entrar en demasiados detalles, podemos considerar
simplemente el asunto teniendo en cuenta la diferencición más esencial entre
lo puro y lo empírico, y decir que la mera forma legislativa es algo en lo
que no participa lo empírico, mientras que la materia de la lay práctica es
su aspecto empírico. Esto surge pues, como resulta por lo demás evidente,
toda acción, por más puro que sea el prncipio que la determine (lo cual puede
no obstante puede no ser el caso) actúa en un campo empírico, interviene en la naturaleza. Así, la acción moral no es algo que solo permanece en lo puro
inteligible sino que, podríamos decir, se mezcla con lo sensible. Entonces el
tema es, dijimos, el motivo determinante. Y aquí hay un problema, pues ¿cómo es que una voluntad, en comercio con los intereses sensibles, afectada del
placer y del dolor, de la facultad apetitiva, a un cuerpo, en una palabra,
sujeto en apariencia a las leyes de la naturaleza; cómo es que puede
determinarse por un principio puro, como la mera forma de una legislación
racional? Es evidente que sólo una voluntad libre admite todo esto.

Citemos, ya que estamos, del parágrafo 7, la ley fundamental de la razón
práctica pura
:

«Obra de tal modo que la máxima de tu voluntad pueda valer siempre como
principio de una legislación universal»

En realidad, esto no agrega nada nuevo a lo que dijimos sino que lo resume. Aquí estaría aludido ese principio práctico puro. Esperamos poder ofrecer más adelante mayores detalles en lo referente a cómo argumenta Immanuel este determinismo no empírico de la voluntad que tiene no obstante supremacía sobre el mundo fenoménico.