Otro ejercicio de lógica

Mostrar que no hay equivalencias entre ninguno de los siguientes esquemas:

I      (x)(p ≡ Fx)

II      p ≡ (x)(Fx)
 
III   (∃x)(p ≡ Fx)
 
IV     p ≡ (∃x)(Fx)

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Nota:
Para este ejercicio vamos a usar un lenguaje con:

i) las letras 'p', 'q', etc. en lugar de un enunciado cualquiera (ejemplos: 'Russell es un filósofo', 'Algunos griegos son filósofos', 'el deseo es el deseo del otro', 'mi reloj no es un número') ;

ii) la letra 'x' como variable de objeto en un oración (así 'x es un auto' es verdadero de todos los autos);

iii) el cuantificador '(x)' que se lee 'para todo x';

iv) el cuantificador existencial '(∃x)' que se lee 'hay al menos un x tal que'

v) la letra de predicado F (que se lee en 'Fx' como: x es un F);

vi) la negación '~' que servirá para construir un enunciado de la forma '~ p' el cual será verdadero si y solo si el enunciado constituyente 'p' es falso;

vii) la conjunción '·' que dará lugar a enunciados de la forma 'p · q', los que serán verdaderos en el único caso en que tanto 'p' como 'q' sean ambos verdaderos;

viii) la disyunción 'v' con la que obtendremos enuciados como 'p v q' que serán verdaderos en cualquier caso, excepto en aquél en que tanto 'p' como 'q' sean falsos;

ix) la implcación material '⊃' con la que se formarán enunciados de la forma 'p ⊃ q' equivalentes a '~ p v q';

x) por último, el símbolo '≡' de la equivalencia material para enunciados como 'p ≡ q' que significan 'p si y solo si q', y pueden definirse así: (p ⊃ q) · (q ⊃ p).

Con este lenguaje podemos escribir, por ejemplo:

1) (∃x)(p · Fx)

Este enunciado será verdadero siempre que (p · Fx) sea verdadero de algún objeto, lo que a su vez tiene lugar si se interpreta a 'p' de tal manera que sea verdadero y a 'F' de tal maner aque sea verdadero de algo. Por ello, resulta equivalente a este otro enunciado:

2) p · (∃x)(Fx)

el cual, del mismo modo, será verdadero siempre que 'p' lo sea y que al menos un objeto x sea F.

Consideremos

3) (x)(p · Fx)

Dado que todo enunciado de la forma '(x)(ϕx)' equivale a '~(∃x)~(ϕx)' (pues 'Todo es ϕ' es lo mismo que 'Ninguno no es ϕ'), (3) equivale a '~(∃x) ~ (p · Fx)'. Según las leyes de De Morgan, entonces, equivale a '~(∃x)(~ p v ~ Fx)'; lo cual equivale (teniendo en cuenta lo dicho respecto de (1) y (2)) a '~[~ p v (∃x) ~ Fx]'; que, según las leyes de De Morgan equivale a 'p · ~(∃x) ~ Fx', que a su vez equivale a

4) p · (x)(Fx)

Así, (3) ≡ (4)