El uso y el prestigio de la razón

En una conversación reciente sobre temas filosóficos escuché decir que la racionalidad se encontraba en algo así como su ocaso. Tal enunciado, claro, contiene propiedades que son extra lógicas. Además, salvo en el caso en que se parta de la noción de una historia, ya lineal o dialéctica, en la que sus momentos se suceden siguiendo el encadenamiento de un orden, justamente, racional; es evidente que no puede ser abordado en ninguna crítica que se se sirva de medios absolutamente apriorísticos.

Si alguien dijera que, en primer lugar, no puede decidirse por medios puramente lógicos si el devenir histórico otorgará tal o cual lugar a la racionalidad, y en segundo que de hacerlo sólo será sobre la base de algún elemento extraído de un conocimiento de ese mismo devenir de un modo intuitivo, sin duda habrá quien quiera responderle que ese enunciado no se reivindica racional, y por ende nada le afectará tal observación. Y como presumiblemente los argumentos meramente formales no serán muy persuasivos en un caso así, deberán esgrimirse otros.

Además, toda la discusión podría ser declarada de "abstracta" (según el uso que recibe el término en ciertas esferas jurídicas) por quien pretenda que la situación aseverada es un hecho presente.

Lo cual nos lleva a un punto de caracter más esencial, a saber, el sentido del enunciado en cuestión. Y, en particular, del termino racional.

Es costumbre en los debates retóricos la subsumsión como modo de reclamar razón. Así, se evoca una palabra como nombre de aquello que el interlocutor esgrime contra una determinada posición para desacreditarla, dejándola así a salvo.

Debates emprendidos en formas semejantes son a no dudarlo los más habituales. Y esto no es de hoy. ¿Qué pasa entonces con la racionalidad, moderna o no?

Es cierto que en la edad moderna la racionalidad ha logrado extender sus confines y abarcar para sí mayores porciones culturales. Pero debe diferenciarse este hecho, el de la extensión efectiva de la influencia de la razón y la lógica, del de la extensión de su prestigio.

La segunda cuestión es más bien política. Es obvio que el uso del prestigio de la razón como fundamento suficiente de alguna proposición no es para nada racional. Es, si se quiere, una forma del argumentum ad verecundiam.

Me imagino, entonces, que para quien la racionalidad se encuentre en algo así como su ocaso, se refiere sin duda a su prestigio. Asumamos esto en lo que sigue.

¿Es esto así? Bueno, ya seguir con esto sería aventurarse en un especulación extrema, con la enorme desventaja que no se trataría de una especulación pura, y así conllevaría sobrepasar los confines del uso recomendado de la misma. Se me ocurre que tales ámbitos del "saber" es el refugio de las especulaciones de deseo (o "elucubraciones de deseo"). Y como el deseo no es sólo de una instancia, el especulador dirá en tales casos lo que quiere que sea, o un deseo contrario a él, etc.

Desde tal punto de mira, parece claro que quienes no han dedicado un gran trabajo al uso racional de la facultad especulativa puedan aseverar la proximidad de un ocaso como el evocado en el post, mientras que quienes lo han hecho por años aseveraran enunciados divergentes. Entonces se vuelve un debate de exhortaciones.

La pregunta es ¿es un debate de tal naturaleza una pérdida de tiempo? Muchos lectores acordarán en que sí lo es. Pero también habrá quienes no consideren de ese modo al entretenimiento, y se entretengan con tales debates, ya sea que formen o no parte de los alocutores.

Pero existe un hecho (lo doy por asumido, pues supongo que todo lector estará de acuerdo, y de no ser así los comentarios permitirán ser ocasión para decir algo más al respecto) y es que tales debates existen, lo han hecho desde hace mucho y muy probablemente sigan haciéndolo. Pareciera haber pues en la razón cierta propensión al entretenimiento, que limita sin duda por lo demás su capacidad productiva.

Y ¿cuál es el lugar de la racionalidad en el entretenimiento de la razón? Antes de dejar lugar a los comentarios (los haya o no) quisiera indicar una cuestión ligada bastante, creo, a esta última pregunta.

En el supuesto avance de la razón durante la época moderna y contemporánea, se han visto desprestigiados distintos modos de argumentación no circunscriptos al conjunto de aquellos basados en al lógica. Ese desprestigio ha hecho, sin duda, que en determinados ámbitos dichos modos se hayan visto reducidos en cierta medida (digo cierta medida, pues no creo que lo haya sido en ningún caso de manera cabal, sea o no por razones de necesidad). Sea cual fuera el nivel de dicha merma, ésta se vuelve notoria al leer sus debates. Pero existen determinados ámbitos donde no se ha corroborado de ninguna manera dicha merma, y una retórica no racional parece regir el pensamiento. El de la oferta publicitaria es sin duda un lugar donde tal cosa se observa con claridad, o al menos que se vé en un análisis lógico se sus enunciados. Y esto es así, incluso, en aquellos casos en que se invoca el prestigio de la ciencia en favor de un producto (frecuente en medicamentos, determinados alimentos para niños, etc.).

Un prueba en la teoría Nicod-Lukasiewicz

Veamos la prueba de «p → p» en el sistema Nicod-Lukasiewicz.

Recordemos el axioma: p/qr | (s/ss) / (sq → ps)

Sustituyendo en él: 'p' por 'p/qr', 'q' por 's/ss', 'r' por 'sq → ps' y 's' por 't', obtememos:

[p/qr|(s/ss)/(sq → ps)] | t/tt / (t|s/ss → p/qr|t)

Nótese que la parte entre corchetes es el axioma mismo, por tanto podemos aplicar la regla, lo cual nos permite afirmar:

(I)  t|s/ss → p/qr|t


Sustituyendo, nuevamente en el axioma, 'p' por 't|s/ss', 'q' y 'r' por 'p/qr|t', 's' por 'w', obtenemos:


(t|(s/ss) → p/qr|t) | (w → w) / (w|(p/qr|t) → t/(s/ss)|w)

Y aplicando la regla (teniendo en cuenta I), obtenemos:

(II)   w|(p/qr|t) → t/(s/ss)|w


Ahora, realizamos en (II) la siguiente sustitución:

'w' por 'p/qr'; 'p', 'q' y 'r' por 's'; 't' por 'sq → ps', 's' por 't' y 't' por 'sq → ps'. Obtenemos el condicional:

p/qr|(s/ss)/(sq → ps) → (sq → ps)/(t/tt)|p/qr

Cuyo antecedente no es sino al axioma, y por ende:

(III)    (sq → ps)/(t/tt)|p/qr

Sustityendo en (I) 't' por '((st → ts)|t/tt)' y 's' por 't':

(st → ts)/(t/tt)| t/tt → p/qr | (st → ts)/(t/tt)

Y como reemplazando en (III) 'p', 'q' y 'r' por 't' nos da:

 (st → ts)/(t/tt)|t/tt

Luego:

(IV)     p/qr | (st → ts)/(t/tt)


Reemplazando en (IV) 'p' por 't|s/ss' y 'q' y 'r' por 'p/qr|t', obtenemos:

(t|s/ss → p/qr|t) | (st → ts) / (t/tt)

Aplicando la regla (teniendo en cuenta (I)), deducimos:

⊢ t/tt

Que es lo que se quería probar.

Más del axioma de Nicod

En el post anterior se hace rerefencia a un axioma que permite, usando la regla de sustitución y una regla de inferencia deducir toda fórmula proposicional. Lukasiwiecz menciona que Leśniewski fue quien notó que la prueba dada por Nicod de «p → p» incluía un error y que, por tanto, no era tal prueba. Esa deducción es publicada por Lukasiewicz en 1931¹. Asimismo, introduce también una modificación en el  axioma de Nicod por otro que es deductible a partir de él en un paso con una sustitución, y que es el presentado en el post citado. El de Nicod es:

p/qr | Ctt / (sq → ps)²

A partir del cual con la sustitución de t por s obtenemos el de Lukasiewicz. Otra prueba que da este autor es la que parte de esta segunda versión del axioma y concluye en la primera, permitiendo afirmar su equivalencia. Se menciona a su vez otro axioma, respecto del cual Wajsberg mostró que servía en lugar del de Nicod. Éste es:

p/qr | [(sr → ps) | p/pq]

Ejercicios:

Usando el axioma y las reglas del post citado, probar:

a. p → p
b. p/qr | Ctt / (sq → ps)



Nota:
1. Luakasiewicz, J. «Uwagi o aksjomacie Nicoda i 'dedukcji uogólniajacej'»
2. Para leer lafórmula téngase en cuenta que: dos letras minuculas una después de la otra, por ejemplo 'pq' representa «p|q»; la barra «/» tiene el mismo significado que «|», pero al momento de cerrar entre paréntesis prepondera la seguda, o sea que 'p|q/p' significa 'p|(q|p)'; 'Css' representa 's → s'.

Función Lisp para convertir fórmula en notación habitual en una de notación prefija

Habitualmente, las fórmulas de la lógica proposicional se escriben usando letras minúsculas como «p», «q», etc., para expresar proposiciones y los signos conectivos, como «→», «∧», etc. se sitúan «entre» ellas para expresar funciones veritativas en las que hagan de argumentos.

Por ejemplo: p → q, p ∧ (q → p), etc.

Se vé, en el segundo caso, que figuran dos paréntesis, lo cual resulta necesario debido a que sin ellos no resultaría claro si lo que se quiere expresar es la función escrita, a saber una conjunción cuyo segundo miembro es un condicional o (como se interpretaría sin los paréntesis) un condicional cuyo primer miembro es una conjunción.  Pero existe una manera, debida a Lukasiewicz, de expresar todas las fórmulas de la lógica proposicional (y aún con predicados y cuantificadores) sin recurrir paréntesis. Estos mismos ejemplos se escribirían así:

Cpq, KpCqp

En este post ya habíamos hecho mención de ello. Pero en el presente nos interesa mostrar una cierta función que sirve para, dada una fórmula expresada en la notación habitual, obtener una equivalente pero expresada en la de Lukasiewicz. A tal fin recurriremos al lenguaje Lisp para escribir la función.

La idea entones es partir de una fórmula tal como:

(p → q) → (p ∧ (q → p))

para obtener una como:

CCpqKpCqp

Para ello usaremos «replace-regexp-in-string». Utilizaremos los siguientes signos conectivos (en otro post, de seguir con el tema, incluiremos además los cuantificadores y los operadores modales):

→ (que en notación prefija es «C»)
∧ («K»)
∨ («A»)
↔ («E»)
|  («D»)

Lo que necesitamos hacer es que cualquier expresión "(x_*_y)" sea transformada en una expresión "*xy" donde el signo conectivo (que está representado por el asterisco, en en el que en cada caso representa un caracter diferente) pase a la primer posición izquierda, y se eliminen  los paréntesis y los espacios en blanco, representados con los guiones bajos. Para que sea más legible, procederemos a reemplazar todo paréntesis izquierdo por el número 0 y todo paréntesis derecho por el 1. Veamos, para empezar, el caso de la conjunción únicamente.

(defun conj (formula)
 (setq formula (replace-regexp-in-string " " "" formula))
 (while (string-match "∧" formula)
  (setq formula (replace-regexp-in-string "(" "0" formula)
        formula (replace-regexp-in-string ")" "1" formula)
        formula (replace-regexp-in-string "0\\([^10]*\\)∧\\([^01]*\\)1" "K\\1\\2" formula)
           )
  )
 (message "%s" formula)
 )

¿Qué hace esta función que llamamos conj?. Pues bien, primero elimina los espacios en blanco. Una vez hecho esto corrobora si en la cadena en cuestión hay algún signo conjuntivo en notación habitual. Si la prueba da t (true) esto significa que hay que aplicar los cambios que siguen. A saber, se cambian los paréntesis por 0 y 1 (como dije, para mayor claridad), luego se toma cualquier subcadena que figure entre paréntesis (0 y 1) y que tenga una signo conectivo ∧ y que no incluya otros paréntesis que los extremos y se reemplaza por otra cadena compuesta por:

Primero, la letra K, que es el signo de la conectiva sobre la que se aplica la función en la notación de Lukasiewicz
Segundo, la parte que se encontraba a izquierda del signo conectivo y
Tercero, la parte que se hallaba a la derecha.

Evidentemente, esto impone la condición de que la fórmula que sea tomada por argumento no debe tener conjunciones de más de dos miembros. Así, en lugar de

p ∧ q ∧ r

debemos escribir, por ejemplo, la fórmula equivalente:

((p ∧ q) ∧ r)

También debe notarse que la fórmula ingresada debe tener paréntesis extremos, aunque sería sencillo evitar esta condición agregándolos en la misma función.

Ahora tenemos que hacer una función que haga la tarea requerida, que llamaremos «nlukasiewicz»

(defun nlukasiewicz (formula)
 (setq formula (replace-regexp-in-string " " "" formula)
       formula (replace-regexp-in-string "¬" "N" formula))
 (while (or (string-match "∧" formula)
        (string-match "∨" formula)
        (string-match "→" formula)
        (string-match "↔" formula))
  (setq formula (replace-regexp-in-string "(" "0" formula)
        formula (replace-regexp-in-string ")" "1" formula)
        formula (replace-regexp-in-string "0\\([^10]*\\)∧\\([^01]*\\)1" "K\\1\\2" formula)
        formula (replace-regexp-in-string "0\\([^10]*\\)∨\\([^01]*\\)1" "A\\1\\2" formula)
        formula (replace-regexp-in-string "0\\([^10]*\\)→\\([^01]*\\)1" "C\\1\\2" formula)
        formula (replace-regexp-in-string "0\\([^10]*\\)↔\\([^01]*\\)1" "E\\1\\2" formula)
           )
  )
 (message "%s" formula)
 )

El lector puede probar en el programa "Emacs" el siguiente ejemplo (luego, claro, de haber evaluado la función):

(nlukasiewicz "((p ∧ (¬q ∨ (¬q → p))) ↔ (p ∧ (p ∨ (q → ¬p))))")

Cuyo resultado es:  EKpANqCNqpKpApCqNp

Dejaremos la barra de Sheffer como ejercicio para el lector.

Un método para el cálculo restringido de predicados

El método de la cuarta edición de Hilbert-Ackerman (Grundzüge der theoretischen Logic) para demostrar las fórmulas válidas proposicionales fue presentado en este post.

Sobre dicha base se formula en el mismo libro un sistema axiomático para la expresiones universalmente válidas del cálculo restringido de predicados (la lógica de primer orden).

Se reformula el concepto de fórmula elemental¹. Serán elementales las fórmulas que consistan en una disyunción «α₁ ∨ ... ∨ α₂» donde:

1) α_i será una fórmula primaria, una fórmula primaria negada o será de la forma: «∃x β» o «∃y β» o «∃z β», etc.
2) han de existir una α_i y uan α_j tales que α_i sea una fórmula primaria y α_j sea «¬α_i».

Las reglas de deducción son:

(a)


   θ ∨ α ∨ γ 
θ ∨ ¬¬α ∨ γ

No es necesario que θ y γ estén presentes en la deducción. Si lo hace γ, ninguno de sus miembros disyuntivos tendrá la forma «¬¬β», «¬(β ∨ δ)» o «¬∃x β» (ni tener una forma así).

(b)

θ ∨ ¬α ∨ γ             θ ∨ ¬β ∨ γ
        θ ∨ ¬(α ∨ β) ∨ γ

Aquí se cumplen para θ y γ las mismas reglas que en (a). En cuanto a β, ésta no puede ser una disyunción.

la siguiente regla no tenía lugar en el cálculo proposicional:

(c)

  θ ∨ ¬α(y) ∨ γ 
θ ∨ ¬∃x α(x) ∨ γ

La expresión «α(y)» contiene una variable libre y. θ y γ (que están sujetas a idénticas condiciones que en (a)) pueden no estar presentes y si lo están en ellas no aparecerá dicha variable, ni tampoco la variable x (pueden tener otras variables).

La última regla es la siguiente:

(d)

θ ∨ ∃x α(x) ∨ α(y) ∨ γ
   θ ∨   ∃x α(x)   ∨   γ

θ y γ deben cumplir con las mismas condiciones que en (a) se exigen para θ. «α(y)» no debe aparecer como miembro disyuntivo una segunda en la fórmula superior.

La equivalencia entre las fórmulas de cada uno de los pisos de (c) se vé así: «¬α(y)» significa que esta fórmula si es verdadero, lo es de cualquier y, pues es una variable libre. Esto equivale a decir que lo es de todo «y», es decir «∀y ¬α(y)». Es cierto además que decir que para todo «x» se cumple que no es α es lo mismo que decir que no existe «x» alguno para el que se cumpla α. O sea: «¬∃y α(y)».

La equivalencia entre los pisos de (d) se sigue de la equivalencia siguiente:

∃x α(x) ∨ α(x)   ≡eq   ∃x α(x)

Esto es así porque:

Primero: ∃x α(x) ∨ α(x)  →   ∃x α(x)

1) ∃x α(x) implica   ∃x α(x) por motivos obvios.
2) Si α(x), esto significa que α es verdadero de cualquier x, asi dado que el dominio de la función no es vacío, existe en él al menos un x que es α

Segundo: ∃x α(x)   →    ∃x α(x) ∨ α(x)

Basta con que el antecedente implique cualquiera de los miembros disyuntivos del consecuente, que es el caso de 1).

___________
1. Se agregan las fórmulas con letras de predicados y cuantificadores a las variables proposicionales.

Demostraciones lógicas

Obtuvimos de la página rinconmatematico.com (del foro de lógica y teoría de conjuntos), el siguiente ejercicio:


1. El lenguaje a utilizar consta del alfabeto de símbolos: ¬, →, (, ), p, q, etc.

2. Un conjunto de fórmulas bien formadas (fbf), que son aquellas que cumplen:

i. p, q, r, etc. son cada una fbf.

ii. Si A y B son fbf, así lo son ¬A y  ¬B.

iii. El conjunto de todas las fbf. es generado por (i) y (ii)

3. Axiomas. Para cada A, B, fbf  se cumple:

L1  (A → (B → A))
L2  ((A → (B → C) → ((A → B) → (A → C))
L3  (¬A → ¬B) → (B → A)

4. Regla de inferencia.
De A, A → B  es consecuencia inmediata B.

5. También pueden usarse las siguientes formas adicionales de deducción:
1. Si γ, A ⊢ B entonces γ ⊢ (A → B)
2. A → B, B → C ⊢ A → C

A) Demuéstrese:

A.1) (p → q) → ((¬p → ¬q) → (q → q)
A.2) ((p → (q → r)) → (p → q)) → ((p → (q → r)) → (p → r))
A.3) (p → (p → q)) → (p → q)
A.4)  p → (q → (p → q))

B) Como ejercicio adicional puede intentarse demostrar estas formas adicionales a partir de L1, L2, L3 y la regla de inferencia. 

Demostraciones formales Implicación estricta

Hace unos días, en este post, citamos un sistema lógico que figura en el libro de Hilbert y Ackermann de la bibliografía, que se caracteriza por un concepto de implicación que no es el mas frecuente. Mostraré ahora cómo puede procederse con él para demostrar algunas de las fórmulas que figuran en este post. Desde ya, de aquellas proposiciones que se demuestran en una línea figura a la derecha el esquema axiomático del que son instancias.


i) A → ¬¬A                              Esquema Axiomático 14


iii) A ∧ (A → B) → B

a) (A → B) → ((A ∧ (A → B) → A) → (A ∧ (A → B ) → B))   EA 3
b) A ∧ (A → B) → A                                                         EA 5
c) (A → B) → (A ∧ (A → B ) → B)                                 Regla IV a,b
d) ((A → B) → (A ∧ (A → B) → B)) → ((A ∧ (A → B) → (A → B)) →
     → ((A ∧ (A → B) → (A ∧ (A → B) → B)))                    
                                                                                           EA3
e) ((A ∧ (A → B) → (A → B)) → ((A ∧ (A → B) → (A ∧ (A → B) → B))
                                                                                   Rega I, c,d
f) A ∧ (A → B) → (A → B)                                                 EA 6
g) A ∧ (A → B) → (A ∧ (A → B) → B)                             Regla I, e,f
h) A ∧ (A → B) → (A ∧ (A → B) → B)) → (A ∧ (A → B) → B)    EA 4
i) A ∧ (A → B) → B                                                       Regla I g,h




iv) (A → B) → (¬B → ¬A)                     E.A. 12



v) (A → B) → ((B → C) → (A → C))        E.A. 3



vi) ¬¬¬A → ¬A                                   E.A. 15



vii) ¬A → ¬¬¬A                                      E.A. 14


viii) ¬A → ¬(A ∧ B)

a)  A ∧ B → A                                          E.A.5
b)  (A ∧ B → A) → (¬A → ¬(A ∧ B))          E.A.12
c)  ¬A → ¬(A ∧ B)                                   R.I, a, b.




xi) ¬(A ∨ B) → ¬A ∧ ¬B

a)  A → A ∨ B                                             E.A.5
b)  B → A ∨ B                                             E.A.6
c)  (A → A ∨ B) → (¬(A ∨ B) → ¬A)            E.A.12
d)  ¬(A ∨ B) → ¬A                                     Regla I, a, c
e)  (B → A ∨ B) → (¬(A ∨ B) → ¬B)              E.A.12
f)  ¬(A ∨ B) → ¬B                                       Regla I, b, e
g)  (¬(A ∨ B) → ¬A) ∧ (¬(A ∨ B) → ¬B) →
    → (¬(A ∨ B) → ¬A ∧ ¬B)                        E.A.7
h)  (¬(A ∨ B) → ¬A) ∧ (¬(A ∨ B) → ¬B)      R.II, d, f.
i)  ¬(A ∨ B) → ¬A ∧ ¬B                              R.I, g, h.

Raíces de una función de segundo grado

Sabemos, porque es asignatura de la secundaria, que para hallar las raíces de una función cuadrática f(x) = ax² + bx + c, esto es, para encontrar para dicha función aquellos (o aquél) valores de x para los que dé cero, podemos servirnos de la fórmula siguiente:

Lo que tal vez resulte de utilidad, dado lo ya dicho, es el ver cómo se obtiene a priori, es decir, no sólo con el método a posteriori de ver que de hecho funciona¹.

Entonces, partimos de la siguiente ecuación de segundo grado:

ax² + bx + c = 0

Que equivale a

ax² + bx = −c

Si se multiplican lo miembros de la igualdad por 4a, se obtiene:

4a·(ax² + bx) = 4a·−c

es decir

(1)  4a²x² + 4abx = −4ac

Por otra parte, considerando la siguiente igualdad

(2)  (2ax + b)² = 4a²x² + 4axb + b²

puede verse que el primer miembro de (1) se parece en todo al segundo de ésta última, con la sola diferencia de que en ella se le suma b². Luego, si sumamos b² a sendos miembros de (1) tenemos

4a²x² + 4abx + b² = −4ac + b²

Considerando la equivalencia (2), reemplazamos el primer  miembro:

(2ax + b)² = −4ac + b²

que es equivalente a

Y si despejamos la x hallamos la fórmula buscada.

_______________________
1. Cf. Álgebra, Repetto, Linskens y Fesquet donde figura la derivación que aquí se cita.

El cogito cartesiano y una duda.

La formulación del célebre cogito, de parte de Descartes, se encuentra en más de un lugar de sus escritos, por ejemplo en el Discurso del método, o en las Meditaciones metafísicas. El primero apareció antes que las segunda, acompañado de la Dióptrica, los Meteoros y la Geometría y, según Mauro Armiño, lo hicieron inicialmente en forma anónima.

Según relata Descartes, habiéndose propuesto someter a su propio juicio todos los conocimientos que le fueron enseñados, revisando cada una de las cuestiones que se le presentaban al estudio en virtud de una método compuesto de cuatro principios (la equivalencia entre verdad y evidencia, el análisis de las dificultades, el ordenamiento de los conocimientos de los sencillos a los compuestos, la enumeración completa) y habiendo optado por −mientras suspendía su juicio en cuanto a lo especulativo− seguir en lo práctico con ciertas máximas que no reflejaran las incertidumbres del espíritu; dedicaba de tanto en tanto algunas horas a vencer las dificultades que le ofrecía la matemática y de ahí fue que surgieron las obras que acompañaron la primera edición del Discurso.

Si bien eran éstas, las ciencias matemáticas, las que más de su agrado resultaban, su búsqueda apuntaba a algún principio primero para la filosofía. Veamos como lo formula:

“Pero en seguida noté que si yo pensaba que todo era falso, yo, que pensaba, debía ser alguna cosa, debía tener alguna realidad; y viendo que esta verdad pienso, luego existo era tan firme y tan segura que nadie podía quebrantar su evidencia, la recibí sin escrúpulo alguno como el primer principio de la filosofía que buscaba” (Discurso del método, cuarta parte).

Algunos años más tarde, escribe:

“¿Qué hay, pues, digno de ser considerado verdadero? Tal vez una sola cosa: que nada hay cierto en el mundo.”

“¿No me he persuadido también de que yo mismo no existía? Sin duda yo era, puesto que me he persuadido o pensado algo. Pero hay un no sé qué muy poderoso y astuto que emplea toda su industria en engañarme siempre. No hay duda de que soy, si él me engaña; y me engañe todo lo que quiera, no podrá hacer que yo no sea en tanto piense ser alguna cosa. De suerte, que después de pensar mucho y examinar mucho todas las cosas, es preciso concluir que esta proposición: yo soy, yo existo, es necesariamente verdadera siempre que la pronuncio o concibo en mi espíritu” (Meditaciones metafísicas, meditación segunda).

Una lectura posible es considerar esto como una demostración. Ya sabemos que a Descartes le parece evidente, él mismo se persuadió de ello.

Una cuestión a determinar en ese caso es el valor que se le otorga a “pienso” ¿es un hecho primario, un punto de partida absoluto, o es secundario?

Veamos, una cosa es decir que cogito es un dato que tomamos como probado de alguna experiencia y que, partiendo de él, inferimos que la cogitatio implica el sum dado que, según otra premisa razonable, no hay cogitatio sin res cogitans, la cual en este caso no puede ser de alguien más que de mí. Dicho de otro modo, tomamos como probado que si hay pensamiento alguno debe haber aquel que piense, y que hay pensamiento; luego en virtud de un modus ponens podemos decir con certeza que hay alguien que piensa.

Pero no parece que sea eso exactamente lo que dice Descartes. Él cree probar también que hay el pensamiento cierto, no sólo que hay alguien que piensa, y como resultado de un proceso lógico. Al menos esta alternativa parece más acorde a la manera en que se expresa el problema en el discurso del método. Y también en Investigación de la verdad por al luz natural que, sin el auxilio de la religión ni de la filosofía, es capaz de determinar lo que el hombre debe pensar en todos los casos que puedan presentársele en la vida, y penetrar en los secretos de las ciencias más curiosas.

En ese diálogo, Eudoxio dice cosas como:

“Cierto es que podéis dudar con razón de todas las cosas no os viene más que por medio de los sentidos; pero ¿podéis dudar de vuestra duda, estáis cierto de si dudáis o no?”

“De esta duda universal, como de un punto fijo e inmóvil, quiero que derivéis el conocimiento de Dios, de vos mismo, y el de todas las cosas que existen en la naturaleza”.

Nos limitaremos por lo pronto a conocimiento “de vos mismo”. Es extraño el número de veces que en los escritos de filosofía moderna se encuentran usos de la palabra Dios, pero ello no nos va a ocupar aquí. Ni tampoco las cosas “que existen en la naturaleza”.

¿Qué es ese sí mismo? Obviamente, no es cualquier idea que cualquiera tenga de sí, ni el concepto aristotélico de hombre, ni la noción biológica, etc. Diremos que es simplemente la certeza. La res cogitans es la certeza. La certeza es la res cogians. Son lo mismo. No sabría decir si alguien ya ha propuesto esta interpretación, pues no lo he escuchado así formulado. Probablemente lo que dijo Lacan se asemeje, pero no es exactamente esto.

Así, el célebre “cogito cartesiano” es una fundamentación de la certeza. Perelman ha dicho que Descartes (y tras él toda la ciencia) fue quien de algún modo sepultó lo verosímil, desterrándolo de la especulación, para la que quiso el modelo deductivo.

Hagamos algunos comentarios sobre la “argumentación” que parece involucrar el cogito.

Descartes parece partir de una disyunción: hay certeza o se puede dudar de todo.

Esto es verosímil (si bien, dije, quita lugar a lo verosímil), pues si hay certeza se cumple la disyunción y si se puede dudar de todo también. Supongamos (para una reductio) que: ni hay certeza ni se puede dudar de todo. Como no se puede dudar de todo debe haber algo, p, respecto de lo que no se pueda dudar. Pero si no puede dudarse de p, si es indudable, entonces hay una certeza cabal respecto de p. Así, nuestro supuesto es absurdo, y por ende demostramos la disyunción.

Como lo que se tiene que probar es que hay certeza (es nuestra hipótesis-interpretación), supongamos que se puede dudar de todo. Luego, si se puede dudar de todo entonces dudo de todo. Esto es, o parece, una tautología. Quizá llame la atención cómo se inmiscuye el ego del antecedente al consecuente. No importa: la certeza es algo que le ocurre a un sujeto, y la duda también, de modo que pueden pasar por equivalentes el 'hay duda' (o certeza) o 'alguien duda' (o alguien tiene una certeza), e incluso identificarse con ese alguien es factible si asumimos que se trata de una 'experiencia' que puede hacer cualquiera.

Ahora bien ¿podemos dudar de esto? Es esta la pregunta que citamos arriba: ¿podéis dudar de vuestra duda? Descartes quiere probar que no se puede dudar de la duda. Supongamos que sí, que se puede. Luego, en lugar de no dudar, dudo (respecto de si dudo), puesto que, según nuestro supuesto es cierto que dudo de todo. Pero así llego a que sé que dudo, por lo tanto pretender dudar de que dudo es absurdo. Por ende: no dudo, sé, QED.

En resumen:

1. ni sé algo ni dudo de todo (sup)

2. dudo de algo (1)

3. sé algo (2)

4. ⊥ (1 y 3)

5. no es el caso que ni sé algo ni que dudo de todo (I¬ 1−4)

6. sé algo o dudo de todo (De Morgan, 5)

7. dudo de todo (sup)

8. dudo si dudo de todo (7)

9. ⊥ (7, 8)

10. no dudo de todo (I¬ 7−11)

11. sé algo (regla de separación)

He aquí cómo se puede identificar el saber y el sujeto (res cogitans). Seguramente suscite dudas (y por ello el título del post) el paso de 7 a 8. Probablemente el lector recordará la advertencia de Russell respecto de las totalidades cuya definición era un miembro suyo, y las restricciones de la teoría de los tipos, donde “dudo de todo” sólo se referiría a juicios de un tipo inferior y no podría hacerlo a sí. Entonces ¿sería demostrable el cogito en tales condiciones si lo interpretamos como una identificación del sujeto con el saber? ¿Será un campo propicio par el escepticismo?

Una relectura del Discurso del método

René Descartes se encuentra, sin lugar a dudas, entre los más famosos de los filósofos de la modernidad europea. Probablemente sea tal vez uno de los más leídos de entre ellos. Cualquiera se encuentra cada vez que pasa por alguna librería de libros usados con el Discurso del método o las Meditaciones metafísicas. No solo eso, el otro día (hace un tiempo ya), mientras me dirigía a tomar el tren para volver a mi casa, veo una edición que los incluía a ambos y me dije que, dado que debía viajar unas cuantas estaciones y que hace tiempo que no releía esas páginas, sumado al hecho de que la edición que en mi casa se encuentra de las obras completas (que así se llama, pero no están todas) tiene ya sus años y no parece conveniente estar llevándola en el bolso, etc., en fin, compré uno. Pero a poco de haber comenzado me llamó la atención que dijera, en relación a las razones que pueden esgrimirse para estar o no seguro de algo:

“Puede suceder, no obstante, que no me equivoque, y que sea solamente cobre y vidrio lo que tomo por oro y diamante”

Desde luego, lo primero que pensé es que me equivoqué, y que, por ejemplo, leí no en lugar de yo, pero no era así. La cosa en sí no tiene nada de llamativo, a no ser porque al llegar a casa y fijarme en una edición que tengo con el Discurso de método encuentro la misma expresión tal cual la cité. Finalmente, al leer la edición que había leído unos cuantos años atrás encuentro, de modo coherente con el contexto en el que figuraba:

“Posible es que me equivoque y tome por oro y diamantes lo que sólo es cobre y vidrio”.

Y dado que entre las dos ediciones donde figuraba las expresión estrictamente contradictoria a ésta última transcurrió un lapso de 28 años, me pregunté si, más allá de la accesibilidad del texto, había sido leído de una manera proporcional a ella.

Probablemente nada de esto revista mayor interés. Sucede, además, que existiendo internet y siendo como es hoy por hoy, uno puede buscar el texto, lo que hubiera dado con el fragmento siguiente (que puede encontrarse acá y también puede oirse acá, aunque para ello hay que saber francés, claro):

“Toutefois il se peut faire que je me trompe, et ce n’est peut-être qu’un peu de cuivre et de verre que je prends pour de l’or et des diamants.”

Teoría de los tipos, sintaxis y semántica: discusión.

En la lógica proposicional, a la que se refieren algunos de los posts recientes de este blog, las letras tienen una interpretación tal que pueden ser tomadas como señalando lo verdadero o lo falso −al menos respecto de algo que sea, también verdadero o falso− pero a ninguna otra cosa. Semejante estado de cosas puede a muchos parecer algo insatisfactorio. Además, podrían plantearse cierta clase de inconvenientes. ¿Qué decir de lo uno o lo otro si, conformando ellos mismos las posibles interpretaciones que podemos dar a nuestras fórmulas, están siempre por ello presupuestos? Decir: la verdad es todo aquello cuya única interpretación posible es lo verdadero incluso respecto de lo que no lo es; es decir, lo que por más que sus partes se interpreten como denotando lo falso, en cualquier caso el conjunto lo hará a lo verdadero ¿no resulta acaso una proposición extremadamente vacía? Pero ¿quién dudaría de su verdad? El problema es que las verdades de la lógica proposicional tienen todas una forma similar. Ellas presuponen lo verdadero siempre como un valor posible de sus partes, y luego llegar a la verdad en fórmulas de otro tipo como el hecho de que ellas siempre arrojen como valor ese mismo que ya era posible. Por algo, la verdad lógica es la tautología, cuya etimología, ταυτολογία, es «decir lo mismo».

El lenguaje de esta lógica tiene dos clases de signos: las letras y las conectivas. Una letra es, al menos según cierto punto de vista, algo que sirve para designar una cierta entidad que llamamos proposición o enunciado. Podemos pensar que existen enunciados concretos y que, como tales, deben ser ya sea verdaderos, ya sea falsos, y ponerle nombres. En ese caso E₁, (por poner un ejemplo) sería uno de ellos. Según una idea arraigada en nuestra cultura, todos los enunciados se agrupan en dos clases mutuamente excluyentes: los verdaderos y los falsos.

A la lógica proposicional sólo le importa eso, y las letras p, q, etc., en tanto variables serán interpretadas como lo verdadero o lo falso, dependiendo el caso, así como de E₁ sólo importará que es verdadero (lo cual es el caso, al menos siempre que no sea falso). Dándole a los elementos del conjunto de lo verdadero y lo falso el nombre de valores veritativos, truth value (en inglés) podemos decir que el tipo de las entidades referidas por las constantes E₁, E₂, etc., y las variables p, q, etc. son siempre elementos de ese conjunto, difiriendo en que E₁ designa unívocamente a una proposición (y por ende también unívocamente a un valor veritativo) y p lo hace pero sin definir a cual. Podemos decir entonces que son éstas expresiones del tipo t.

En cuanto a las conectivas, la situación es diferente. Consideremos la más simple, la conectiva unaria usualmente representada por ¬ o por ~ (análogamente podría procederse respecto de la doble negación, que es otra conectiva unaria). ¿Señala también un enunciado o es de otro tipo que el anteriormente mencionado? Evidentemente, no podemos interpretarla de la misma manera que a las letras. No pertenece al tipo t. Es una expresión que aplicada a otra expresión −ésta sí de tipo t− da lugar a otra expresión, ésta última de tipo t. Es decir, es una función que mapea elementos t sobre elementos t.

Las conectivas binarias son también funciones pero, nuevamente, de otro tipo. Ellas asignan a cada letra una expresión del tipo anterior, es decir, una expresión que aplicada a una letra da como resultado otra que es de tipo t y que, por tanto, podemos interpretar como verdadera o falsa. Con conectivas de mayor número de variables se procede de modo similar.

Pero ocurre que estas interpretaciones pueden resultar a muchos un tanto insuficientes. Sobre todo si tenemos en cuenta que la experiencia más simple nos coloca frente a símbolos cuya interpretación no pertenece ni al conjunto de valores de verdad ni al de las funciones de valores de verdad sobre valores de verdad, ni a las funciones de valores de verdad sobre funciones de valores de verdad, etc.

No. Sabemos, en efecto, que Sócrates era un mortal, y esto, tomado como tal, es símbolo de los verdadero, si se quiere. Pero ¿si pensamos en las partes de éste símbolo? ¿Qué clase de expresión es “Sócrates”? ¿Y “mortal”?

Es bien sabido que la lógica ha desarrollado, luego de lo que se supone habitualmente son miles de años de estancamiento, en el siglo XIX, un lenguaje, una escritura (llamado primero Begriffschrift) que traduce simbolos como esos. Se llaman, respectivamente, constante de individuo y constante de predicado.

Ya vimos, en otro post, que las solas funciones ¬ y ∧ basta para todas las interpretaciones que admite una semántica como la presentada aquí en primer término. Por ejemplo, para definir la que arroja el valor 0 para argumentos ordenados tales que el primero es 1 y el otro no, y el valor 1 para el resto; siendo f_(p) = ¬p y f.(p,q) = p ∧ q, luego basta con escribir:

f_(f.(p,f.(q)))

Ya sabemos como interpretar eso: es una función que, aplicada a p da lugar a otra función que, aplicada a q da lugar, finalmente, a una expresión de tipo t. Basándonos en esto, pues, podemos considerar α, β y γ como expresiones diferentes; α como una de tipo t, β como una del tipo tal que, aplicado a una del tipo t da lugar a otra de tipo t y γ como una del tipo que aplicado a una expresión del tipo como el de β (es decir, que aplicado a t devuelve otra de tipo t) da lugar a una del tipo t¹. Entonces esa fórmula puede también escribirse de esta manera:

γ(β(α))

Y con las fórmulas de mayor número de variables proposicionales podemos proceder de modo similar. De todas formas, habíamos mencionado expresiones como Sócrates y mortal; y es algo evidente que ellos, o mejor dicho, aquello que nos permitiría interpretarlos, no tienen cabida en el ser de Parménides (y tampoco en su no ser). Necesitamos entonces de lo que solemos llamar un mundo, incluso un universo. Se dirá que el ser del filósofo de Elea es un concepto de mundo. Muy bien, pero no puede resultar satisfactorio desde este punto de vista, ni tampoco al de cualquier hablante habitual. Este nuevo mundo está compuesto de elementos: todos los individuos son parte de él. Veremos cómo podrían interpretarse, en base a ese mundo, los signos en cuestión, pero sin entrar, al menos por el momento, en los problemas a que la razón pura puede desembocar en torno a una justificación de este concepto de lo indivisible, como señaláramos en otro post siguiendo el comentario de Kant.

Entones, dados los individuos, las constantes de individuo se interpretan, cada una, como referida a un único elemento indivisible del mundo. No necesitamos, cosa que sí ocurre en el lenguaje conversacional, de más de un nombre para cada uno de ellos. (En realidad, según vimos antes, es posible prescindir de esta noción de 'nombre lógico', pero no insistiremos en ello por el momento). Estas constantes, por denotar tales entidades elementales, son expresiones de tipo e. También lo son, lógicamente, las variables de individuo.

¿Qué decir de la mortalidad? Pues que ella es, según la presente interpretación, una función que mapea para cada elemento de D, nuestro dominio de individuos, un valor del conjunto {0,1}, donde se incluyen nuestras interpretaciones relativas al ser y al no ser de Parménides: f : D → {0,1}. Todas estas expresiones que, aplicadas a otras de tipo e conforman una de tipo t (que suelen llamarse predicados de primer orden) forman parte del conjunto de todas las funciones f : D → {0,1}, que equivale al conjunto potencia POT(D)².

Existen otras expresiones que una teoría de los tipos permitiría construir y que no una lógica de predicados de primer orden (como los predicados de segundo orden o superior) o una de segundo orden (como determinados adjetivos y adverbios). Pero dada la extensión de este post, lo dejaremos para otra oportunidad.

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1. Por si resulta más claro, digamos que si el tipo 〈a,b〉‪ es el de una expresión que aplicada a una de tipo a conforma una de tipo b, luego: α ∊ t, β ∊ 〈t,t〉 y γ ∊ 〈t,〈t,t 〉〉

2. Una expresión así es de la forma 〈e,t〉.

Otro sistema de «implicación estricta»

Hemos hablado ya del sistema de Lewis donde tiene cabida un concepto de implicación que no es el de la implicación material. En esta oportunidad, mencionaremos otro, distinto, que figura en hilbert-Ackermann (1928). Según los autores, no existe necesidad alguna que inexorablemente nos fuerce a introducir este tipo de implicación, pero le dedican un parágrafo por revestir la cuestión, dicen, “cierto interés filosófico”.

En este sistema, enunciados como los allí citados «si la nieve es blanca, 7 es un número primo», «si la nieve es negra, 7 es un número primo» y «si la nieve es negra 9 es número primo» no serán válidos como lo serían si la implicación fuera verdadera toda vez que su antecedente sea “la nieve es negra” o su consecuente “7 es número primo”, es decir, aquél falso y ésta verdadera.

Los caminos seguidos por los autores citados y por Lewis difieren. Por ejemplo, éste acepta la validez de fórmulas como «A → B ∨ ¬B», «A ∧ ¬A → B», «¬(B ∨ ¬B)→A» y «¬B → ¬(A ∧ ¬A)», mientras que ellos no lo hacen. Veamos sus axiomas y reglas:

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Fórmulas elementales:

(1)    φ → φ

(2)    (φ → ψ) → ((ψ → χ) → (φ → χ))

(3)    (φ → ψ) → ((χ → φ) → (χ → ψ ))

(4)    (φ →(φ → ψ)) → (φ → ψ)

(5)    φ ∧ ψ → φ

(6)    φ ∧ ψ → ψ

(7)    (φ → ψ) ∧ (φ → χ) → (φ → ψ ∧ χ )

(8)     φ → φ ∨ ψ

(9)     ψ → φ ∨ ψ

(10)   (φ → χ) ∧ (ψ → χ) → (φ ∨ ψ → χ)

(11)   φ ∧ (ψ ∨ χ) → ψ ∨ (φ ∧ χ)

(12)   (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ)

(13)   φ ∧ ¬ψ → ¬(φ → ψ)

(14)   φ → ¬¬φ

(15)   ¬¬φ → φ

Las reglas de deducción son:

I. de φ y φ → ψ se deduce ψ

II. de φ y ψ se sigue φ ∧ ψ

III. de φ y ¬φ ∨ ψ se deduce ψ

IV. de ψ y φ→(ψ→χ) se deduce ψ→χ

El lector querrá quizá ahora verificar si alguna de las fórmulas de éste post son demostrables con esto, y por qué.

(Seguir leyendo)

De la deducción a la inducción en la Οὐσία

Tal vez efecto de la estructura gramatical de las lenguas habladas, ese principio de conexión entre lo que respectivamente puede designarse como aquello de que se esté hablando y lo que de eso de diga, no proviene de la formalización de la lógica moderna cuyos lenguajes poseen letras tanto para individuos como para predicados. Mucho antes se hablaba de ello (si bien es esperable que para cada época el modo de hacerlo fuera peculiar a ella).

Así, por ejemplo, según Octavio Hamelin en El sistema de Aristóteles:

“En cuanto a la física, si es seguro que se dirige y versa sobre lo real, y ello en un sentido muy preciso de la palabra real, ya que a diferencia de las matemáticas se ocupa de seres concretos y no de abstracciones, ella no especula sin embargo sobre lo que tiene de más central y fundamental la realidad. Estudia los accidentes de las substancias sensibles...” (p.465)

No dirigiremos ahora tanto nuestra atención sobre lo que se afirma en esta frase respecto de la física, que podría sonar extraño para la mayoría de los lectores, sin lugar a dudas, ya que por lo menos en prestigio, ella no subordina más a ninguna «filosofía primera». Pero sí sobre esa diferencia entre lo que se llama allí sustancia y lo que recibe el nombre de accidente. Hace alguno siglos, Leibniz respecto de este tema, escribía:

“la naturaleza de una sustancia individual o de un ente completo es tener una noción tan cumplida que sea suficiente para comprender y hacer deducir de ella todos los predicados del sujeto a quien esta noción se atribuye. Por el contrario, el accidente es un ser cuya noción no encierra todo lo que puede atribuirse al sujeto a quien se atribuye esta noción.”¹

Aquí puede notarse cómo la lógica subrepticiamente se inmiscuye, podría decirse, en esta cuestión. La naturaleza de una sustancia, si creemos al filósofo en esto, permite hacer deducir todo predicado suyo, pero de éste no de deriva aquella. Más adelante dice algo más, relacionado con el tema de la individualización:

“Puede incluso demostrarse que la noción de la magnitud, de la figura y del movimiento no es tan distinta como se cree y que encierra algo de imaginario y de relativo a nuestras percepciones como ocurre también (aunque en mayor escala), con el calor, el color y otras cualidades semejantes, de las que cabe poner en duda si realmente se encuentran en la naturaleza fuera de nosotros. Por eso semejantes clases de cualidades no podrían constituir ninguna sustancia. Y si no hay ningún otro principio de identidad en los cuerpos, aparte de éste que acabamos de decir, nunca un cuerpo subsistirá más de un momento”².

Vemos el viejo tema que ocupó no sólo a los filósofos desde Heráclito a Quine sino incluso a lingüistas como Saussure, quien en su Curso General se preguntó por el fundamento del decir que haya una misma calle luego de haber sido demolida y vuelto a construir.

Evidentemente, si reparamos en la facultad de nombrar inherente a ciertos elementos del lenguaje³, no hace falta −como le parecía a nuestros antepasados− recurrir a una metafísica. Y así, nuestra época se encuentra mucho más alivianada. El problema entonces es ¿pero es la misma palabra? Y tal vez sea éste el que heredamos del siglo XX.

Ya explicamos por qué puede decirse que según parece las relaciones de preeminencia se han invertido entre la sustancia y el accidente, el sujeto y el predicado, el argumento y la función. Y quizá tanto como las que hay entre la física y la metafísica.

Resultado de ello es que ni la «forma sustancial», ni la esencia son términos con lo que nos complazcamos habitualmente en su uso. ¿¡Por qué algún predicado tendría que parecernos más fundamental que otros!? Pero según es evidente, que no valga ningún fundamento metafísico para ello (en caso de que así sea) no implica (no lógicamente al menos) que de hecho no se proceda como si así no fuese.

Hoy en día parece que antes que cuál sería la propiedad más importante o fundamental de una cosa (aquella sin la cual ésta no pueda pensarse) importa más lo que se correlacione. Si dos cosas marchan juntas hay un nexo, se piensa, y eso es lo que importa. Esto sólo puede deberse a un motivo: se ha separado la lógica de la noción de sustancia. Si en el pasado se requería (al menos en el discurso) que hubiera una relación lógica, deductiva, del accidente respecto de su sujeto, eso ha venido a ser sustituido por este otro vínculo, mucho menos estrecho: se ha promovido la inducción.

Quizá esto conduzca a que la estadística tenga a su cargo la administración de ese nexo que otrora era jurisdicción de los filósofos y que establece a qué cosas valdría la pena referir los argumentos de las funciones proposicionales, por ejemplo. Pero el fundamento de ello es cierto límite de la deducción en cuanto a su uso a posteriori. Veamos un ejemplo. Se dice: “el agua es insípida”. ¿Es una esencia? ¿Un predicado más? ¿Un elemento inalienable suyo? Consideremoslo así ∀x(Ax → Ix), “siempre es el caso que si algo −cualwuier cosa− es agua, entonces es insípida”. Pero ¿qué significa esa variable aparente, ligada por el cuantificador?

A diferencia de Φx, aquélla fórmula es una proposición. Russell propuso el nombre de función proposicional a la que carece de la A invertida por el siguiente motivo: no afirma una proposición sino que son proposiciones cada uno de los valores que arroja para cada argumento en el lugar de la variable x. El cuantificador universal, así, significa que sí hay una proposición, y ella afirma Φx de todos y cada uno de los integrantes del dominio. Dicho de otra forma, si hubiera en nuestro lenguaje nombres suficientes, es un conjunción:

∀xΦx eq “Φc₁ ∧ Φc₂b ∧ Φc₃ ...” para toda constante c del lenguaje.

Donde las letras no son variables sino los nombres de las cosas, no sólo del agua. Pero ¿qué son las cosas? Sabemos que hay un número letras, que en nuestro lenguaje cada una se distingue del resto, etc. ¿Pero el referente? ¿Incluye él algún número de elementos, cada uno dferente de los demás, etc.?

Alguno dirá “Ax es verdadera del conjunto de todo lo que es agua”, lo cual parece una solución muy simple. Pero ocurre el siguiente problema ¿hay algún conjunto insípido? Evidentemente, no es del conjunto de lo que se predica A⁴. ¿Deberemos decir en consecuencia que se lo hace de sus partes? ¿Y cuales son estas? Por mas que hubiera nombres suficientes −y los hay− para cada vaso de agua obtenido del océano, incluso de los ríos y las lluvias, tendríamos que cada uno de ellos es un subconjunto del agua. Es claro que esto parece conducir a la antinomia de la razónpura.

______________

1. Leibniz, Discurso de metafísica

2. Ibíd.

3. Los nombres, precisamente.

4. Y ni hablar del hecho de que de las partes del océano difícilmente alguna se encuentre que sea insípida, por ejemplo.

Pruebas de validez con ecuaciones

Siguiendo con esta serie de posts, probaremos algunas fórmulas más, que el lector podrá encontrar aca.

                        ⊢ X ∨ ¬X

Esto se representa así (partiendo de «¬(¬X ∧ X)»:

1 − (1 − x)x =
1 − (x − x²) =
1 − (x − x)  = 1

Así, A ∨ ¬A es válida. También puede usarse el método para demostrar contradicciónes. Por ejemplo, traduzcamos

                   ⊢ X ∧ ¬X:

x(1 − x) =
x − x = 0

Luego "A ∧ ¬A" es siempre falso.

Ahora consideremos:

                   ⊢ X → ((X → Y) → Y))

A → ((1 − x + xy) → B)) =

A → [1 − (1 − x + xy) + (1 − x + xy)y] =

1 − x + x[1 − (1 − x + xy) + (1 − x + xy)y] =

1 − x + x(1 − 1 + x − xy + y − xy + xyy) =

1 − x + x(x + y − xy) =

1 − x + x + xy − xy = 1

con lo cual es válida.

Ahora:
                    ⊢ X ∧ (X → Y) → Y

x(1 − x + xy) → Y

1 − [x(1 − x + xy)] + [x(1 − x + xy)]y

1 − (x − x + xy) + (x − x + xy)y

1 − (x − x + xy) + xy

1 − x + x − xy + xy = 1

con lo que se prueba que es una tautlología.

Ahora mostraremos otro ejemplo más y dejaremos el resto para el lector:

                    ⊢ (X → Y) → (¬Y → ¬X)

(1 − x + xy) → [1 − (1 − y) + (1 − y)(1 − x)]

(1 − x + xy) → (1 − 1 + y + 1 − y − x + xy)

(1 − x + xy) → (1 − x + xy)

Analizamos el condiciona que queda:

1 − (1 − x + xy) + (1 − x + xy)(1 − x + xy)

1 − 1 + x − xy + 1 − x + xy − x + x − xy + xy − xy + xy = 1

Llegamos así a que es siempre verdadera independientemente de los valores que tomen sus argumentos.

Sujeto, predicado, argumento y función

La distinción entre juicio analítico y juicio sintético ocupa buena parte de la introducción de Kant a su Crítica de la razón pura, y fue motivo de modificaciones que surgen en la lectura al cotejar la primera con la segunda edición. No es, sin embargo, la única distinción que allí traza. Se encuentra también la del conocimiento puro y el empírico, así como la del conocimiento a priori y el conocimiento a posteriori. Incluso la de universal y necesario respecto de empíricamente limitado y contingente. Existen vínculos entre las distinciones, pero no podría decirse que se trata de la misma. A lo sumo, que son conceptos se se encuentran ya en el sujeto de que se trata, aunque de manera confusa, pero no es seguro.

El estudio de la filosofía trascendental, ya desde la doctrina de sus elementos, incluso desde la primera introducción, se ve, hoy por hoy, en la situación de, en apariencia, deber optar entre una lectura que vea con ojos actuales las disquisiciones que allí tienen lugar, a la luz de todo lo que fue escrito postreramente; o bien procurando invocar las discusiones que ocupaban la especulación del filósofo, y que también movían a otros a escribir e intercambiar cartas y publicaciones, para restaurar el edificio tal cual fue construído en un primer momento.

No creo que deba tomarse sendas alternativas como ligadas por una disyunción exclusiva. Leer con indiferencia los problemas teóricos que acaloraron siglos pasados los debates no es siquiera un talante adecuado para echar una mirada a los que lo hacen en el presente. De otra parte, un conservadurismo ciego a todo desplazamiento, inevitable por otro lado con le paso de los siglos, que sólo otorgue valor a aquello cuya respuesta o esté dada por algún célebre filósofo, por eximio que fuera, o se la anticipe en sus escritos.

Para ejercer su análisis −puesto que es, cuando menos en parte, un conocimiento analítico− de la diferencia entre los tipos de juicio mencionados al inicio del post, Kant toma apoyo en la estructura de sujeto y predicado de algunos juicios, deteniéndose sólo en los afirmativos, confiando en el lector su extensión a los afirmativos.

El juicio afirmativo sería el que asevera la pertenencia o inclusión de B, el predicado,  en A, el sujeto. Resulta este un punto singularmente llamativo. El análisis habitual en el presente de parte de lo lógicos, que se encuentra ya en la Conceptografía de Frege, procede de un modo enteramente inverso. Él dice "en mi modo de representar el juicio, no tiene lugar la distinción entre sujeto y predicado"¹. Pero más adelante (§9) introduce otra distinción, entre argumento y función. Veamos cómo procede; consideremos las expresiones:

"La circunstancia de que el anhidrido carbónico es más pesado que el hidrógeno"

y

"La ciucunstancia de que el anhidrido carbónico es más pesado que el oxígeno"

Se trata, dice, de la misma función con dos argumentos distintos, a saber, el hidrógeno y el oxígeno. Si representamos la función mediante phi y los argumentos mediante A y B, podemos escribir, de modo más sintético:

Φ(A)

y

Φ(B)

Si aún consideramos Φ como una propiedad o un predicado (de algún modo, podría decirse, la distinción sujeto-predicado desestimada al inicio retorna en esta entre argumento y función) podemos decir también

A ∊ Φ

y

B ∊ Φ

por ejemplo. Ahora bien, nótese que la relación de inclusión es inversa. Mientras que suele pensarse que el predicado incluye a un sujeto cuando el enunciado es verdadero (ejemplo de ello se "s ∊ M" para Sócrates es mortal, i.e., pertenece a la clase de los mortales), Kant afirma que el juicio es aquella estructura (esta palabra la ponemos nosotros) donde, de ser verdadera, el sujeto incluye al predicado, o alos sumo está en una conexión con él.

Así, existen los juicios analíticos y lo sintéticos. En aquellos, B "está contenido (ocultamente)" en A y "su conexión es pensada por identidad". Dice que también podrían llamarse juicios de explicación y que "no añaden nada al concepto del sujeto, sino solo lo desintegran, por análisis, en sus conceptos parciales, que estaban pensados ya en él (aunque de manera confusa)"².

En los otros, los sintéticos, B "reside enteramente fuera del concepto A, aunque está en conexión con él"³. Son juicios de ensachamiento donde la relación es pensada sin identidad: el concepto del predicado no está pensado en el del sujeto.

Podría parecer, a esta altura, que no es frecuente que las ciencias recurran a este procedimiento analítico en virtud del cual de un sujeto surgen conceptos inherentes a él, pero que lo estaban en forma confusa. En ese sentido, tal vez debamos considerar que el mismo es más propio del análisis propuesto por ejemplo en la Traumdeutung que obras como los Pincipia. De todas formas, es cierto que cierto elemento irreductible siempre se preserva en el sujeto cuando se trata de sentar las bases. Así, no es lícito interpretar pasajes como estos recurriendo a conceptos de identidad como por ejemplo:

x = y  =Df  ∀α(x ϵ α ↔ y ϵ α)

Donde 'x' e 'y' son idénticos significa que para toda clase, si contiene a uno también al otro. Ni de equivalencia como:

A ≡ B  =Df  (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A)

Según el cual son equivalentes donde proposiciones si cada uno implica a la otra. Estos on algunos ejemplo dados por Kant: "todos los cuerpos son extensos", todas las proposiciones de la matemática, el concepto de causa referido a todo acontecimiento, "todos los cuerpos son pesados".

El carácter extenso de los cuerpos cae en la categoría de analítico, mientras los restantes, sintéticos, y el último de lo citados, además a posteriori.

La experiencia, además, es una vía para establecer el vínculo entre un concepto y otro (siendo uno sujeto y otro predicado y no siendo tal conexión, interna), conexión entonces que por tanto se debe llamar 'sintética'. Tal parece ser la que existe entre la pesadez y los cuerpos, en tanto este es sujeto y aquella predicado.

De este modo surge entonces un problema. Si la conexión en un caso, el analítico, estaba dada de antemano (aunque confusa), entonces su fundamento no parecería problemático (aunque lo sea). Si, en cambio, la conexión está dada en la experiencia, tenemos que es ella su fundamento. Pero ¿qué pasa cuando hay síntesis pero no experiencia? He aquí un interrogante que se coloca en la base misma de toda crítica de la facultad pura del conocimiento especulativo.

____________________
1. §3
2. (B11)
3. Ibíd.