lunes, 30 de enero de 2012

Funciones veritativas con dos variables

Este post es continuación de estotro. Las funciones de verdad compuestas de dos variables proposicionales son en total 16. Es decir, todas las posibilidades de combinar 'p' y 'q' en fórmulas como Cpq, Kpq, etc., son 16. Evidentemente las combinaciones posibles entre variables y conectivas son más, pero todas van a expresar sólo 16 funciones. Es decir que dos fórmulas equivalentes expresarán la misma función.

Usaré notación prefija* (es más ágil para escribir en el teclado) y escribiré a la derecha las valuaciones resultantes para los valores p:1100 y q:1010:

1. CpCqp: 1111
2. Apq: 1110
3. Cqp: 1101
4. Cpq: 1011
5. NKpq: 0111
6. CCpqp: 1100
7. Epq: 1001
8. ANpKqNp: 0011
9. NEpq: 0110
10. CCqpq: 1010
11. ANqKpNq: 0101
12. Kpq: 1000
13. KpNq: 0100
14. KNpq: 0010
15. NAp1: 0001
16. KKpNpq: 0000

________
* Nota:
Cpq equivale a 'p ⊃ q',
Apq a 'p ∨ q',
Np es '~p',
Kpq 'p·q',
Epq es 'p ≡ p'.

   La incompatibilidad:
Dpq equivale a 'p|q'

   Cuantificadores:
Πxφ  es   ∀xφ
Σxφ    es  ∃xφ

miércoles, 25 de enero de 2012

Analiticidad y disyunción

Supongamos que "ϕ ∨ ψ" es una fórmula analítica (es decir verdadera necesariamente). Como es evidente, entonces ϕ y ψ no podrían ser ambas falsas.

¿Debemos entonces admitir que ϕ es necesariamente verdadera o que ψ lo es?

Muestre por qué.

domingo, 22 de enero de 2012

Substancias simples y compuestas

Un post del blog Argumetics cita la argumentación de la Monadologiá de Leibniz de la espiritualidad de toda substancia simple. Dado que tal blog no es en castellano, no lo linkeo sólo sino que lo cito a su vez en lengua romance:



Dos postulados iniciales:



I. Toda substancia es simple o es compuesta.

II. Toda sustancia compuesta se compone de sustancias simples.



Por ende:
III. Toda substancia es o bien simple o compuesta de substacias simples.



Se postula además



IV. Toda sustania material es extensa y por tanto divisible (o tiene una extensión divisible).


V. Nada que sea extenso es una substancia simple. (Porque de ser extenso sería sivisible)



Ahora, tomando III, IV y V:



VI. Ninguna substancia simple es material.



Dado que, se argumenta:



VII. Toda substancia es o bien material o bien espiritual.



Por lo tanto:



VIII. Toda substancia simple es espiritual.



Por otra parte, en su Crítica de la Razón Pura, Kant argumenta de modo diferente (según una reductio ad absurdum dialéctica) pero también de la simplicidad (o no) de las substancias materiales. Pero llega a diferentes conclusiones (lo siguiente procede del "Segundo conlicto de la razón pura" de la obra citada):



Supóngase que las substancias compuestas no consisten en partes simples.



Luego, como la división de ellas nunca concluíría en una parte simple terminaría en la nada, no habría sido dada substancia alguna (no subsiistiría, esta es la contradicción con el supuesto).



Por tanto o bien no es posible dividir una substancia compuesta, o bien la división de una substancia compuesta a de dar con una subtancia no divisibe, i.e., simple.



Pero la primera alternativa debe ser descartada, pues en tal caso eso compuesto no sería substancia, y asumimos que lo es, queda entonces pues el segundo caso: toda substancia compuesta consiste en partes simples (esta es la tesis).



Supóngase ahora que una substancia compuesta consiste en partes simples.



Como no hay nada (compuesto) no espacial, la substancia compuesta debe ocupar un lugar en el espacio. Pero el espacio no consta de partes simples, sino de espacios. Así, cada parte del compuesto ocupa a su vez un espacio. Por ende, las partes simples (supuestas) de la substancia compuesta deben ocupar un espacio. Pero todo lo que ocupa un espacio es tan divisible como el espacio que ocupa. Por lo tanto lo simple es divisible, lo cual es autocontradictorio.



Por tanto: No existe en el mundo nada que esté compuesto de substancias simples ni que sea en sí mismo una substancia simple (antítesis).

viernes, 13 de enero de 2012

El condicional existenical que quedaba

Quedaba el tercer esquema existencial propuesto para mostrar su validez. Era el siguiente:

[∃(FG) v ∃(FH)] ⊃ ∃[F.(G v H)]

Aquí bastará simplemente con modificar el consecuente en virtud de la distributividad de la conjunción en la disyunción, resultando:

∃(FG v FH) ⊃ ∃(FG v FH)

que es válido.

martes, 3 de enero de 2012

Otro condicional válido y la distributividad de la disyunción en la conjunción

Ocupémonos un momento con este esquema*:

(i) [¬∃x(Fx ∧ Gx ∧ ¬Hx) ⊃ ∃x(Fx ∧ ¬Gx)].[¬∃x(Fx ∧ ¬Gx) v ¬∃x(Fx ∧ ¬Hx)] ⊃ [¬∃x(Fx ∧ ¬Gx ∧ Hx) ⊃ ∃x(Fx ∧ Gx ∧ ¬Hx)]

Si abreviamos sustrayendo la 'x' y representando la conjunción de letras de términos con la contigüidad de los mismos:

(ii) [¬∃(FG¬H) ⊃ ∃(F¬G)].[¬∃(F¬G) v ¬∃(F¬H)] ⊃ [¬∃(F¬GH) ⊃ ∃(FG¬H)]

Veamos si es o no válido.

Llamemos del siguiente modo sus partes:

p: ∃(FG¬H)
q: ∃(F¬G)
r: ∃(F¬H)
s: ∃(F¬GH)

Entonces tenemos:

(iii) (~p ⊃ q)·(~q v ~r) ⊃ (~s ⊃ p)

que como tiene la forma 'ϕ ⊃ ψ', se le pueda dar esta otra: '~ϕ v ψ'. Luego:

~[(~p ⊃ q)·(~q v ~r)] v (~s ⊃ p)

Otro tanto puede hacerse con la última parte:

~[(~p ⊃ q)·(~q v ~r)] v (s v p)

Convertimos la primer parte, es decir, la negación de una conjunción en una disyunción de negaciones (De Morgan) y a su vez trocamos '(~p ⊃ q)' por 'p v q':

~(p v q) v ~(~q v ~r) v s v p

que equivale a:

(~p.~q) v (q.r) v s v p

Nótese, teniendo en cuenta la asociatividad de la disyunción, que el último esquema equivale a:

[p v (~p.~q)] v (q.r) v s

Detengámonos en la primer parte: '[p v (~p.~q)]'. Considerando la ley de la distributividad de la disyunción en la conjunción, tenemos a partir de la misma:

(p v ~p) . (p v ~q)

Pero como 'p v ~p' es universalmente válido, y nos interesa la validez de (i), podemos prescindr de él, así que llegamos a:

(~q v p) v (q.r) v s

que desde luego equivale a:

(iv) (q.r) v ~q v p v s

Volviendo a tener en cuenta la última ley considerada, hacemos de '(q.r) v ~q', '(~q v q).(~q v r)', y eliminando por su validez '~q v q'; por lo tanto:

(v) p v ~q v r v s

Letras a las que podemos dar el significado inicial:


∃(FG¬H) v ¬∃(F¬G) v ∃(F¬H) v ∃(F¬GH)

Si fundimos los esquemas existenciales afirmativos obtenemos lo siguiente:

¬∃(F¬G) v ∃(FG¬H v F¬H v F¬GH)

Que se puede reformular como un condicional:

∃(F¬G) ⊃ ∃(FG¬H v F¬H v F¬GH)

Dado que un condicional existencial (como el precedente) es válido si y sólo si el esquema de término correspondientes a alguno de los existenciales del antecedente implica el esquema de término correspondiente al consecuente, tenemosque comprobr que 'F.~G' implica 'F.~H v F.~G.H v F.G.~H'. Como de ser falso en antecedente el esquema sería válido, nos interesa que ocurre en el caso en que sea verdadero:

⊤ . ⊤ ⊃ ⊤.~H v ⊤.⊤.H v ⊤.⊥.~H

Cuya validez se vé tan fácilmente como la de:

~H v H

_____
*Nota: Ya habíamos incluido el esquema en otro post. El mismo figura en Los métodos de la lógica de Willard V.O. Quine donde puede encontrarse una parte de la prueba aquí presente.