Consideremos una relación cualquiera, llamémosla 'R'. Otorguémosle dos propiedades. La primera de ellas es la reflexividad. Esto significa que cualquier cosa (del dominio del modelo) mantiene consigo misma esa relación. Un ejemplo de ello puede ser, para el dominio de padres, "llevar el mismo nombre que". Así, para cualquier padre, es obvio que siempe "lleva el mismo nombre" que si mismo. Sin duda que si un padre cambiara un nombre el modelo ya no sería adecuado. Podemos pensar entonces otros. La igualdad matemática puede ser un ejemplo de relación con esta propiedad de la reflexividad, tal vez más frecuente. Para todos los números se cumple que son iguales a si mismos. Pero no osn lo mismo la relación de igualdad matemática que la reflexividad, que es una propiedad suya, y que también tienen otras relaciones.
Ahora pensemos otra propiedad para atribuir a 'R', la relación de la que estamos hablando. Sería esta: si dos cosas mantiene cada una esta relación con una tercera, entonces la mantienen entre sí. Un ejemplo: ser "hermano o hermana de", de manera que si alguien, cualquiera sea, es hermano o hermana de alguien y hay otra persona que también lo es, entonces ésta y aquél son hermanos.
Si tuvieramos que dar un ejemplo de una relación que las reúna a las dos propiedades mencionadas, podríamos citar la congruencia. Vista así, desde un punto de vista semántico, muy fácil es llegar a la conclusión, evidente, de que la relación es simétrica. Esto significa que si algo es semejante a otra cosa, esta otra cosa lo es de algo. Tal cosa no ocurre, por ejemplo, con la relación "está a la derecha de". Si alguien está a la derecha de su padre, su padre no está a la derecha de él, al menos si no cambiemos entre tanto nuestro punto de vista. Si vovlemos a tomar un ejemplo de la matemática podemos pensar en "ser mayor que".
Pero el tema es que la conclusión de que 'R' es simétrico porque es reflexiva y porque cualesquiera dos cosa que mantengal la relación con cualquier otra la mantienen entre sí basada en el ejemplo de la congruencia podría no ser suficientemente general. Mejor dicho, hay una maner ade demostrar que si 'R' cumple las dos propiedades mencionadas en primer lugar, cumple la otra que dijimos. Llamemos axiomas a las dos primeras:
Axioma I: Rxx
Axioma II: Rxz ∧ Ryz → Rxy
Teorema I: Ryz → Rzy
Quedará para el lector la demostración del teorema I*. Por el momento, sólo nos ocuparemos de otro teorema de esta teoría:
Teorema II: Rxy ∧ Ryz → Rxz
Veamos como se podría probar si tuvieramos demostrado el otro teorema:
|1 Rxy ∧ Ryz supuesto
|2 Ryz Eliminación de ∧: 1
|3 Ryz → Rzy por teorema I: 2
|4 Rzy Modus Ponens: 2, 3
|5 Rxy Eliminación de ∧: 1
|6 Rxy ∧ Rzy Introducción ∧: 4, 5
|7 Rxy ∧ Rzy → Rxz por Axioma II: 6
|8 Rxz Modus ponens: 6, 7
9 Rxy ∧ Ryz → Rxz I→
______
*Nota: Un esquema de tal demostración (en realidad bastante sencilla como para que el lector de con ella por sus medios) y una mención a esta teoría pueden encontrarse en Tarski Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas.
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