sábado, 25 de agosto de 2012

Teoría de los tipos, sintaxis y semántica: discusión.

En la lógica proposicional, a la que se refieren algunos de los posts recientes de este blog, las letras tienen una interpretación tal que pueden ser tomadas como señalando lo verdadero o lo falso −al menos respecto de algo que sea, también verdadero o falso− pero a ninguna otra cosa. Semejante estado de cosas puede a muchos parecer algo insatisfactorio. Además, podrían plantearse cierta clase de inconvenientes. ¿Qué decir de lo uno o lo otro si, conformando ellos mismos las posibles interpretaciones que podemos dar a nuestras fórmulas, están siempre por ello presupuestos? Decir: la verdad es todo aquello cuya única interpretación posible es lo verdadero incluso respecto de lo que no lo es; es decir, lo que por más que sus partes se interpreten como denotando lo falso, en cualquier caso el conjunto lo hará a lo verdadero ¿no resulta acaso una proposición extremadamente vacía? Pero ¿quién dudaría de su verdad? El problema es que las verdades de la lógica proposicional tienen todas una forma similar. Ellas presuponen lo verdadero siempre como un valor posible de sus partes, y luego llegar a la verdad en fórmulas de otro tipo como el hecho de que ellas siempre arrojen como valor ese mismo que ya era posible. Por algo, la verdad lógica es la tautología, cuya etimología, ταυτολογία, es «decir lo mismo».

El lenguaje de esta lógica tiene dos clases de signos: las letras y las conectivas. Una letra es, al menos según cierto punto de vista, algo que sirve para designar una cierta entidad que llamamos proposición o enunciado. Podemos pensar que existen enunciados concretos y que, como tales, deben ser ya sea verdaderos, ya sea falsos, y ponerle nombres. En ese caso E₁, (por poner un ejemplo) sería uno de ellos. Según una idea arraigada en nuestra cultura, todos los enunciados se agrupan en dos clases mutuamente excluyentes: los verdaderos y los falsos.

A la lógica proposicional sólo le importa eso, y las letras p, q, etc., en tanto variables serán interpretadas como lo verdadero o lo falso, dependiendo el caso, así como de E₁ sólo importará que es verdadero (lo cual es el caso, al menos siempre que no sea falso). Dándole a los elementos del conjunto de lo verdadero y lo falso el nombre de valores veritativos, truth value (en inglés) podemos decir que el tipo de las entidades referidas por las constantes E₁, E₂, etc., y las variables p, q, etc. son siempre elementos de ese conjunto, difiriendo en que E₁ designa unívocamente a una proposición (y por ende también unívocamente a un valor veritativo) y p lo hace pero sin definir a cual. Podemos decir entonces que son éstas expresiones del tipo t.

En cuanto a las conectivas, la situación es diferente. Consideremos la más simple, la conectiva unaria usualmente representada por ¬ o por ~ (análogamente podría procederse respecto de la doble negación, que es otra conectiva unaria). ¿Señala también un enunciado o es de otro tipo que el anteriormente mencionado? Evidentemente, no podemos interpretarla de la misma manera que a las letras. No pertenece al tipo t. Es una expresión que aplicada a otra expresión −ésta sí de tipo t− da lugar a otra expresión, ésta última de tipo t. Es decir, es una función que mapea elementos t sobre elementos t.

Las conectivas binarias son también funciones pero, nuevamente, de otro tipo. Ellas asignan a cada letra una expresión del tipo anterior, es decir, una expresión que aplicada a una letra da como resultado otra que es de tipo t y que, por tanto, podemos interpretar como verdadera o falsa. Con conectivas de mayor número de variables se procede de modo similar.

Pero ocurre que estas interpretaciones pueden resultar a muchos un tanto insuficientes. Sobre todo si tenemos en cuenta que la experiencia más simple nos coloca frente a símbolos cuya interpretación no pertenece ni al conjunto de valores de verdad ni al de las funciones de valores de verdad sobre valores de verdad, ni a las funciones de valores de verdad sobre funciones de valores de verdad, etc.

No. Sabemos, en efecto, que Sócrates era un mortal, y esto, tomado como tal, es símbolo de los verdadero, si se quiere. Pero ¿si pensamos en las partes de éste símbolo? ¿Qué clase de expresión es “Sócrates”? ¿Y “mortal”?

Es bien sabido que la lógica ha desarrollado, luego de lo que se supone habitualmente son miles de años de estancamiento, en el siglo XIX, un lenguaje, una escritura (llamado primero Begriffschrift) que traduce simbolos como esos. Se llaman, respectivamente, constante de individuo y constante de predicado.

Ya vimos, en otro post, que las solas funciones ¬ y ∧ basta para todas las interpretaciones que admite una semántica como la presentada aquí en primer término. Por ejemplo, para definir la que arroja el valor 0 para argumentos ordenados tales que el primero es 1 y el otro no, y el valor 1 para el resto; siendo f_(p) = ¬p y f.(p,q) = pq, luego basta con escribir:

f_(f.(p,f.(q)))

Ya sabemos como interpretar eso: es una función que, aplicada a p da lugar a otra función que, aplicada a q da lugar, finalmente, a una expresión de tipo t. Basándonos en esto, pues, podemos considerar α, β y γ como expresiones diferentes; α como una de tipo t, β como una del tipo tal que, aplicado a una del tipo t da lugar a otra de tipo t y γ como una del tipo que aplicado a una expresión del tipo como el de β (es decir, que aplicado a t devuelve otra de tipo t) da lugar a una del tipo t¹. Entonces esa fórmula puede también escribirse de esta manera:

γ(β(α))

Y con las fórmulas de mayor número de variables proposicionales podemos proceder de modo similar. De todas formas, habíamos mencionado expresiones como Sócrates y mortal; y es algo evidente que ellos, o mejor dicho, aquello que nos permitiría interpretarlos, no tienen cabida en el ser de Parménides (y tampoco en su no ser). Necesitamos entonces de lo que solemos llamar un mundo, incluso un universo. Se dirá que el ser del filósofo de Elea es un concepto de mundo. Muy bien, pero no puede resultar satisfactorio desde este punto de vista, ni tampoco al de cualquier hablante habitual. Este nuevo mundo está compuesto de elementos: todos los individuos son parte de él. Veremos cómo podrían interpretarse, en base a ese mundo, los signos en cuestión, pero sin entrar, al menos por el momento, en los problemas a que la razón pura puede desembocar en torno a una justificación de este concepto de lo indivisible, como señaláramos en otro post siguiendo el comentario de Kant.

Entones, dados los individuos, las constantes de individuo se interpretan, cada una, como referida a un único elemento indivisible del mundo. No necesitamos, cosa que sí ocurre en el lenguaje conversacional, de más de un nombre para cada uno de ellos. (En realidad, según vimos antes, es posible prescindir de esta noción de 'nombre lógico', pero no insistiremos en ello por el momento). Estas constantes, por denotar tales entidades elementales, son expresiones de tipo e. También lo son, lógicamente, las variables de individuo.

¿Qué decir de la mortalidad? Pues que ella es, según la presente interpretación, una función que mapea para cada elemento de D, nuestro dominio de individuos, un valor del conjunto {0,1}, donde se incluyen nuestras interpretaciones relativas al ser y al no ser de Parménides: f : D → {0,1}. Todas estas expresiones que, aplicadas a otras de tipo e conforman una de tipo t (que suelen llamarse predicados de primer orden) forman parte del conjunto de todas las funciones f : D → {0,1}, que equivale al conjunto potencia POT(D)².

Existen otras expresiones que una teoría de los tipos permitiría construir y que no una lógica de predicados de primer orden (como los predicados de segundo orden o superior) o una de segundo orden (como determinados adjetivos y adverbios). Pero dada la extensión de este post, lo dejaremos para otra oportunidad.


_________
1. Por si resulta más claro, digamos que si el tipo 〈a,b〉‪ es el de una expresión que aplicada a una de tipo a conforma una de tipo b, luego: α ∊ t, β ∊ 〈t,t〉 y γ ∊ 〈t,〈t,t 〉〉
2. Una expresión así es de la forma 〈e,t〉.

miércoles, 22 de agosto de 2012

Otro sistema de «implicación estricta»

Hemos hablado ya del sistema de Lewis donde tiene cabida un concepto de implicación que no es el de la implicación material. En esta oportunidad, mencionaremos otro, distinto, que figura en hilbert-Ackermann (1928). Según los autores, no existe necesidad alguna que inexorablemente nos fuerce a introducir este tipo de implicación, pero le dedican un parágrafo por revestir la cuestión, dicen, “cierto interés filosófico”.

En este sistema, enunciados como los allí citados «si la nieve es blanca, 7 es un número primo», «si la nieve es negra, 7 es un número primo» y «si la nieve es negra 9 es número primo» no serán válidos como lo serían si la implicación fuera verdadera toda vez que su antecedente sea “la nieve es negra” o su consecuente “7 es número primo”, es decir, aquél falso y ésta verdadera.

Los caminos seguidos por los autores citados y por Lewis difieren. Por ejemplo, éste acepta la validez de fórmulas como «A → B ∨ ¬B», «A ∧ ¬A → B», «¬(B ∨ ¬B)→A» y «¬B → ¬(A ∧ ¬A)», mientras que ellos no lo hacen. Veamos sus axiomas y reglas:

________________

Fórmulas elementales:

(1)    φ → φ
(2)    (φ → ψ) → ((ψ → χ) → (φ → χ))
(3)    (φ → ψ) → ((χ → φ) → (χ → ψ ))
(4)    (φ →(φ → ψ)) → (φ → ψ)
(5)    φ ∧ ψ → φ
(6)    φ ∧ ψ → ψ
(7)    (φ → ψ) ∧ (φ → χ) → (φ → ψ ∧ χ )
(8)     φ → φ ∨ ψ
(9)     ψ → φ ∨ ψ
(10)   (φ → χ) ∧ (ψ → χ) → (φ ∨ ψ → χ)
(11)   φ ∧ (ψ ∨ χ) → ψ ∨ (φ ∧ χ)
(12)   (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ)
(13)   φ ∧ ¬ψ → ¬(φ → ψ)
(14)   φ → ¬¬φ
(15)   ¬¬φ → φ

Las reglas de deducción son:

I. de φ y φ → ψ se deduce ψ
II. de φ y ψ se sigue φ ∧ ψ
III. de φ y ¬φ ∨ ψ se deduce ψ
IV. de ψ y φ→(ψ→χ) se deduce ψ→χ

El lector querrá quizá ahora verificar si alguna de las fórmulas de éste post son demostrables con esto, y por qué.

(Seguir leyendo)

sábado, 18 de agosto de 2012

De la deducción a la inducción en la Οὐσία

Tal vez efecto de la estructura gramatical de las lenguas habladas, ese principio de conexión entre lo que respectivamente puede designarse como aquello de que se esté hablando y lo que de eso de diga, no proviene de la formalización de la lógica moderna cuyos lenguajes poseen letras tanto para individuos como para predicados. Mucho antes se hablaba de ello (si bien es esperable que para cada época el modo de hacerlo fuera peculiar a ella).

Así, por ejemplo, según Octavio Hamelin en El sistema de Aristóteles:

En cuanto a la física, si es seguro que se dirige y versa sobre lo real, y ello en un sentido muy preciso de la palabra real, ya que a diferencia de las matemáticas se ocupa de seres concretos y no de abstracciones, ella no especula sin embargo sobre lo que tiene de más central y fundamental la realidad. Estudia los accidentes de las substancias sensibles...” (p.465)

No dirigiremos ahora tanto nuestra atención sobre lo que se afirma en esta frase respecto de la física, que podría sonar extraño para la mayoría de los lectores, sin lugar a dudas, ya que por lo menos en prestigio, ella no subordina más a ninguna «filosofía primera». Pero sí sobre esa diferencia entre lo que se llama allí sustancia y lo que recibe el nombre de accidente. Hace alguno siglos, Leibniz respecto de este tema, escribía:

la naturaleza de una sustancia individual o de un ente completo es tener una noción tan cumplida que sea suficiente para comprender y hacer deducir de ella todos los predicados del sujeto a quien esta noción se atribuye. Por el contrario, el accidente es un ser cuya noción no encierra todo lo que puede atribuirse al sujeto a quien se atribuye esta noción.”¹

Aquí puede notarse cómo la lógica subrepticiamente se inmiscuye, podría decirse, en esta cuestión. La naturaleza de una sustancia, si creemos al filósofo en esto, permite hacer deducir todo predicado suyo, pero de éste no de deriva aquella. Más adelante dice algo más, relacionado con el tema de la individualización:

Puede incluso demostrarse que la noción de la magnitud, de la figura y del movimiento no es tan distinta como se cree y que encierra algo de imaginario y de relativo a nuestras percepciones como ocurre también (aunque en mayor escala), con el calor, el color y otras cualidades semejantes, de las que cabe poner en duda si realmente se encuentran en la naturaleza fuera de nosotros. Por eso semejantes clases de cualidades no podrían constituir ninguna sustancia. Y si no hay ningún otro principio de identidad en los cuerpos, aparte de éste que acabamos de decir, nunca un cuerpo subsistirá más de un momento”².

Vemos el viejo tema que ocupó no sólo a los filósofos desde Heráclito a Quine sino incluso a lingüistas como Saussure, quien en su Curso General se preguntó por el fundamento del decir que haya una misma calle luego de haber sido demolida y vuelto a construir.

Evidentemente, si reparamos en la facultad de nombrar inherente a ciertos elementos del lenguaje³, no hace falta −como le parecía a nuestros antepasados− recurrir a una metafísica. Y así, nuestra época se encuentra mucho más alivianada. El problema entonces es ¿pero es la misma palabra? Y tal vez sea éste el que heredamos del siglo XX.

Ya explicamos por qué puede decirse que según parece las relaciones de preeminencia se han invertido entre la sustancia y el accidente, el sujeto y el predicado, el argumento y la función. Y quizá tanto como las que hay entre la física y la metafísica.

Resultado de ello es que ni la «forma sustancial», ni la esencia son términos con lo que nos complazcamos habitualmente en su uso. ¿¡Por qué algún predicado tendría que parecernos más fundamental que otros!? Pero según es evidente, que no valga ningún fundamento metafísico para ello (en caso de que así sea) no implica (no lógicamente al menos) que de hecho no se proceda como si así no fuese.

Hoy en día parece que antes que cuál sería la propiedad más importante o fundamental de una cosa (aquella sin la cual ésta no pueda pensarse) importa más lo que se correlacione. Si dos cosas marchan juntas hay un nexo, se piensa, y eso es lo que importa. Esto sólo puede deberse a un motivo: se ha separado la lógica de la noción de sustancia. Si en el pasado se requería (al menos en el discurso) que hubiera una relación lógica, deductiva, del accidente respecto de su sujeto, eso ha venido a ser sustituido por este otro vínculo, mucho menos estrecho: se ha promovido la inducción.

Quizá esto conduzca a que la estadística tenga a su cargo la administración de ese nexo que otrora era jurisdicción de los filósofos y que establece a qué cosas valdría la pena referir los argumentos de las funciones proposicionales, por ejemplo. Pero el fundamento de ello es cierto límite de la deducción en cuanto a su uso a posteriori. Veamos un ejemplo. Se dice: “el agua es insípida”. ¿Es una esencia? ¿Un predicado más? ¿Un elemento inalienable suyo? Consideremoslo así ∀x(Ax → Ix), “siempre es el caso que si algo −cualwuier cosa− es agua, entonces es insípida”. Pero ¿qué significa esa variable aparente, ligada por el cuantificador?

A diferencia de Φx, aquélla fórmula es una proposición. Russell propuso el nombre de función proposicional a la que carece de la A invertida por el siguiente motivo: no afirma una proposición sino que son proposiciones cada uno de los valores que arroja para cada argumento en el lugar de la variable x. El cuantificador universal, así, significa que sí hay una proposición, y ella afirma Φx de todos y cada uno de los integrantes del dominio. Dicho de otra forma, si hubiera en nuestro lenguaje nombres suficientes, es un conjunción:

xΦx eq “Φc₁ ∧ Φc₂b ∧ Φc₃ ...” para toda constante c del lenguaje.

Donde las letras no son variables sino los nombres de las cosas, no sólo del agua. Pero ¿qué son las cosas? Sabemos que hay un número letras, que en nuestro lenguaje cada una se distingue del resto, etc. ¿Pero el referente? ¿Incluye él algún número de elementos, cada uno dferente de los demás, etc.?


Alguno dirá “Ax es verdadera del conjunto de todo lo que es agua”, lo cual parece una solución muy simple. Pero ocurre el siguiente problema ¿hay algún conjunto insípido? Evidentemente, no es del conjunto de lo que se predica A⁴. ¿Deberemos decir en consecuencia que se lo hace de sus partes? ¿Y cuales son estas? Por mas que hubiera nombres suficientes −y los hay− para cada vaso de agua obtenido del océano, incluso de los ríos y las lluvias, tendríamos que cada uno de ellos es un subconjunto del agua. Es claro que esto parece conducir a la antinomia de la razónpura.

______________
1. Leibniz, Discurso de metafísica
2. Ibíd.
3. Los nombres, precisamente.
4. Y ni hablar del hecho de que de las partes del océano difícilmente alguna se encuentre que sea insípida, por ejemplo.

lunes, 13 de agosto de 2012

Pruebas de validez con ecuaciones

Siguiendo con esta serie de posts, probaremos algunas fórmulas más, que el lector podrá encontrar aca.

                        ⊢ X ∨ ¬X

Esto se representa así (partiendo de «¬(¬X ∧ X)»:

1 − (1 − x)x =
1 − (x − x²) =
1 − (x − x)  = 1

Así, A ∨ ¬A es válida. También puede usarse el método para demostrar contradicciónes. Por ejemplo, traduzcamos

                   ⊢ X ∧ ¬X:

x(1 − x) =
x − x = 0

Luego "A ∧ ¬A" es siempre falso.

Ahora consideremos:

                   ⊢ X → ((X → Y) → Y))

A → ((1 − x + xy) → B)) =

A → [1 − (1 − x + xy) + (1 − x + xy)y] =

1 − x + x[1 − (1 − x + xy) + (1 − x + xy)y] =

1 − x + x(1 − 1 + x − xy + y − xy + xyy) =

1 − x + x(x + y − xy) =

1 − x + x + xy − xy = 1

con lo cual es válida.

Ahora:
                    ⊢ X ∧ (X → Y) → Y

x(1 − x + xy) → Y

1 − [x(1 − x + xy)] + [x(1 − x + xy)]y

1 − (x − x + xy) + (x − x + xy)y

1 − (x − x + xy) + xy

1 − x + x − xy + xy = 1

con lo que se prueba que es una tautlología.

Ahora mostraremos otro ejemplo más y dejaremos el resto para el lector:

                    ⊢ (X → Y) → (¬Y → ¬X)

(1 − x + xy) → [1 − (1 − y) + (1 − y)(1 − x)]

(1 − x + xy) → (1 − 1 + y + 1 − y − x + xy)

(1 − x + xy) → (1 − x + xy)

Analizamos el condiciona que queda:

1 − (1 − x + xy) + (1 − x + xy)(1 − x + xy)

1 − 1 + x − xy + 1 − x + xy − x + x − xy + xy − xy + xy = 1

Llegamos así a que es siempre verdadera independientemente de los valores que tomen sus argumentos.

viernes, 10 de agosto de 2012

Sujeto, predicado, argumento y función

La distinción entre juicio analítico y juicio sintético ocupa buena parte de la introducción de Kant a su Crítica de la razón pura, y fue motivo de modificaciones que surgen en la lectura al cotejar la primera con la segunda edición. No es, sin embargo, la única distinción que allí traza. Se encuentra también la del conocimiento puro y el empírico, así como la del conocimiento a priori y el conocimiento a posteriori. Incluso la de universal y necesario respecto de empíricamente limitado y contingente. Existen vínculos entre las distinciones, pero no podría decirse que se trata de la misma. A lo sumo, que son conceptos se se encuentran ya en el sujeto de que se trata, aunque de manera confusa, pero no es seguro.

El estudio de la filosofía trascendental, ya desde la doctrina de sus elementos, incluso desde la primera introducción, se ve, hoy por hoy, en la situación de, en apariencia, deber optar entre una lectura que vea con ojos actuales las disquisiciones que allí tienen lugar, a la luz de todo lo que fue escrito postreramente; o bien procurando invocar las discusiones que ocupaban la especulación del filósofo, y que también movían a otros a escribir e intercambiar cartas y publicaciones, para restaurar el edificio tal cual fue construído en un primer momento.

No creo que deba tomarse sendas alternativas como ligadas por una disyunción exclusiva. Leer con indiferencia los problemas teóricos que acaloraron siglos pasados los debates no es siquiera un talante adecuado para echar una mirada a los que lo hacen en el presente. De otra parte, un conservadurismo ciego a todo desplazamiento, inevitable por otro lado con le paso de los siglos, que sólo otorgue valor a aquello cuya respuesta o esté dada por algún célebre filósofo, por eximio que fuera, o se la anticipe en sus escritos.

Para ejercer su análisis −puesto que es, cuando menos en parte, un conocimiento analítico− de la diferencia entre los tipos de juicio mencionados al inicio del post, Kant toma apoyo en la estructura de sujeto y predicado de algunos juicios, deteniéndose sólo en los afirmativos, confiando en el lector su extensión a los afirmativos.

El juicio afirmativo sería el que asevera la pertenencia o inclusión de B, el predicado,  en A, el sujeto. Resulta este un punto singularmente llamativo. El análisis habitual en el presente de parte de lo lógicos, que se encuentra ya en la Conceptografía de Frege, procede de un modo enteramente inverso. Él dice "en mi modo de representar el juicio, no tiene lugar la distinción entre sujeto y predicado"¹. Pero más adelante (§9) introduce otra distinción, entre argumento y función. Veamos cómo procede; consideremos las expresiones:

"La circunstancia de que el anhidrido carbónico es más pesado que el hidrógeno"

y

"La ciucunstancia de que el anhidrido carbónico es más pesado que el oxígeno"

Se trata, dice, de la misma función con dos argumentos distintos, a saber, el hidrógeno y el oxígeno. Si representamos la función mediante phi y los argumentos mediante A y B, podemos escribir, de modo más sintético:

Φ(A)

y

Φ(B)

Si aún consideramos Φ como una propiedad o un predicado (de algún modo, podría decirse, la distinción sujeto-predicado desestimada al inicio retorna en esta entre argumento y función) podemos decir también

A ∊ Φ

y

B ∊ Φ

por ejemplo. Ahora bien, nótese que la relación de inclusión es inversa. Mientras que suele pensarse que el predicado incluye a un sujeto cuando el enunciado es verdadero (ejemplo de ello se "s ∊ M" para Sócrates es mortal, i.e., pertenece a la clase de los mortales), Kant afirma que el juicio es aquella estructura (esta palabra la ponemos nosotros) donde, de ser verdadera, el sujeto incluye al predicado, o alos sumo está en una conexión con él.

Así, existen los juicios analíticos y lo sintéticos. En aquellos, B "está contenido (ocultamente)" en A y "su conexión es pensada por identidad". Dice que también podrían llamarse juicios de explicación y que "no añaden nada al concepto del sujeto, sino solo lo desintegran, por análisis, en sus conceptos parciales, que estaban pensados ya en él (aunque de manera confusa)"².

En los otros, los sintéticos, B "reside enteramente fuera del concepto A, aunque está en conexión con él"³. Son juicios de ensachamiento donde la relación es pensada sin identidad: el concepto del predicado no está pensado en el del sujeto.

Podría parecer, a esta altura, que no es frecuente que las ciencias recurran a este procedimiento analítico en virtud del cual de un sujeto surgen conceptos inherentes a él, pero que lo estaban en forma confusa. En ese sentido, tal vez debamos considerar que el mismo es más propio del análisis propuesto por ejemplo en la Traumdeutung que obras como los Pincipia. De todas formas, es cierto que cierto elemento irreductible siempre se preserva en el sujeto cuando se trata de sentar las bases. Así, no es lícito interpretar pasajes como estos recurriendo a conceptos de identidad como por ejemplo:

x = y  =Df  ∀α(x ϵ α ↔ y ϵ α)

Donde 'x' e 'y' son idénticos significa que para toda clase, si contiene a uno también al otro. Ni de equivalencia como:

A ≡ B  =Df  (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A)

Según el cual son equivalentes donde proposiciones si cada uno implica a la otra. Estos on algunos ejemplo dados por Kant: "todos los cuerpos son extensos", todas las proposiciones de la matemática, el concepto de causa referido a todo acontecimiento, "todos los cuerpos son pesados".

El carácter extenso de los cuerpos cae en la categoría de analítico, mientras los restantes, sintéticos, y el último de lo citados, además a posteriori.

La experiencia, además, es una vía para establecer el vínculo entre un concepto y otro (siendo uno sujeto y otro predicado y no siendo tal conexión, interna), conexión entonces que por tanto se debe llamar 'sintética'. Tal parece ser la que existe entre la pesadez y los cuerpos, en tanto este es sujeto y aquella predicado.

De este modo surge entonces un problema. Si la conexión en un caso, el analítico, estaba dada de antemano (aunque confusa), entonces su fundamento no parecería problemático (aunque lo sea). Si, en cambio, la conexión está dada en la experiencia, tenemos que es ella su fundamento. Pero ¿qué pasa cuando hay síntesis pero no experiencia? He aquí un interrogante que se coloca en la base misma de toda crítica de la facultad pura del conocimiento especulativo.

____________________
1. §3
2. (B11)
3. Ibíd.

domingo, 5 de agosto de 2012

La implicación y la validez del condicional

He aquí un par de ejercicios más de lógica proposicional, que pueden ser oportunos para continuar poniendo en práctica el método de Hilbret y Ackerman (1928). Ellos son:


((¬q ∨ p) → (t ∧ ¬m)) ∧ ¬ q

∴   ¬m ∧ ¬q

y


r ∧ ¬s → q ∨ m,

t ∧ ¬p ¬ ¬(q ∨ m),

r ∧ ¬s ∨ t ∧ ¬p,

∴   (q ∨ m) ∨ ¬(q ∨ m)

Considerando aquello de que "la implicación es la validez del condicional" veremos cómo se prueban los condicionales cuyos antecedentes estén formados por las conjunciones de las premisas (en caso de que haya más de una) y el consecuente por la conclusión.

Adoptaré, por comodidad, la siguiente notación. Para representar las variables proposicionales usaré letras como p, q, r, s, etc. Del modo habitual serán usados los signos →, ∨ y los paréntesis. Para la conjunción usaré ∧, pero en el caso en que dos letras proposionales, ej. p y q, formen una conjunción, podrán escribirse, en lugar de «p ∧ q», directamente así: «pq». En cuanto a la negación, usaré el signo ¬. Pero para indicar la negación de una proposición sola en lugar de servirme de ese símbolo colocaré sobre ella una barra horizontal. Así, en lugar de ¬p escribiré p̄. Tendré en cuenta las equivalencias «¬p̄ ≡ p», «¬¬p̄ ≡ p̄», la conmutatividad de ∨ y ∧, etc.


Veamos el primero:

((q̄∨p) → (tm̄)) ∧ q̄ 
∴   m̄q̄

Como se dijo, debemos verificar:

(a)     ((q̄∨p) → (tm̄)) ∧ q̄  →  m̄q̄

Para emplear el método mencionado debemos expresar el esquema en una forma equivalnte con sólo las letras proposicionales, la negación y la disyunción. Vamos por pasos comenzando por las conectivas de menor alcance. Apliquemos primero las leyes de De Morgan:

((q̄∨p) → ¬(t̄∨m)) ∧ q̄  →  ¬(m∨q)

Covertimos un condicional:

(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∧ q̄  →  ¬(m∨q)



Ahora nuevamente De Morgan:

¬(¬(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∨ q)  →  ¬(m∨q)

Ahora el otro condicional:

¬(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∨ q  ∨ ¬(m∨q)

Dado que:

¬(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∨ q ∨ q̄

es válido, nos queda examinar:

*   ¬(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∨ q  ∨ m̄

Primero: "¬(¬(q̄∨p)) ∨ q ∨ m̄"

q̄ ∨ p ∨ q  ∨ m̄

Es fórmula elemental (y por tanto válido). Ahora:
"¬(¬(t̄∨m)) ∨ q  ∨ m̄"

O sea:

t̄ ∨ m ∨ q  ∨ m̄

Que también lo es. Por lo tanto (a) es válido.


El otro:

rs̄ → q ∨ m
tp̄ → ¬(q ∨ m)
rs̄ ∨ tp̄
∴   (q ∨ m) ∨ ¬(q ∨ m)


(b) (rs̄ → q∨m) ∧ (tp̄ → ¬(q∨m)) ∧ (rs̄ ∨ tp̄) → (q ∨ m ∨¬(q∨m))


(¬(r̄∨s) → q∨m) ∧ (¬(t̄∨p) → ¬(q∨m)) ∧ (¬(r̄s) ∨ ¬(t̄p))) → (q ∨ m ∨ ¬(q∨m))

((r̄∨s ∨ q∨m) ∧ (t̄∨p ∨ ¬(q∨m)) ∧ (¬(r̄s) ∨ ¬(t̄p))) → (q ∨ m ∨ ¬(q∨m))

¬(¬(r̄∨s ∨ q∨m) ∨ ¬(t̄∨p ∨ ¬(q∨m)) ∨ ¬(¬(r̄s) ∨ ¬(t̄p))) → (q ∨ m ∨ ¬(q∨m))

¬(r̄∨s ∨ q∨m) ∨ ¬(t̄∨p ∨ ¬(q∨m)) ∨ ¬(¬(r̄s) ∨ ¬(t̄p)) ∨ q ∨ m ∨ ¬(q∨m)


Este esquema es válido ya que «q ∨ m ∨ ¬(q ∨ m)» lo es.
De todas formas, podríamos haber especulado de este modo: dado que cualquier condicional suyo consecuente es válido, lo es también él mismo; y como el consecuente de (b) es verdadero bajo toda interpretación de sus variables, luego (b) es una tautología, con lo que resolvíamos el ejercicio de un modo más breve.

miércoles, 1 de agosto de 2012

Demostración en una lógica de 'ecuaciones'

Anteriormente se mostró una manera representar las fórmulas veritativas de la lógica proposicional. Vimos entonces que podíamos escribir:

    f_(x) = 1 − x

para la negación,

    f.(x,y) = x·y

para la conjunción,

    f→(x,y) = 1 − x + xy

para el condicional y

    f↔(x,y) = 1 − x − y + 2xy

para el bicondicional.

Para representar una disyunción escribiremos:

    fₒ(x,y) = 1 − ((1 − x)(1 − y))

Esto se justifica así: tendremos en cuanta la ley de De Morgan, a saber, «p ∨ q ≡ ¬(p̄ ∧ q̄)». Luego, si 'p' y 'q' son 'x' e 'y' respectivamente obtenemos la fórmula mencionada.




Podemos ahora hacer uso de un método 'algebraico'. Demostremos primero que "A si y sólo si A":

Como p ↔ p se representa como "1 − x − y + 2xy" (ver prueba), luego tenemos que demostrar:

 1 − x − y + 2xy = 1

ya que 1 es el único valor de verdad de toda fórmula válida, y queremos saber si tal fórmula lo es. Como p y p son la misma variable, luego x = y. Así:

1 − x − x + 2xx =
1 − 2x + 2x² =

Aplicando ∀x x²= x (ver post anterior):

1 − 2x + 2x = 1

Así, la fórmula inicial es válida.

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