lunes, 25 de febrero de 2013

La transitividad como regla

El teorema p → q → [q → r →. p → r] una de cuyas pruebas figura acá, permite deducir una implicación en base a otros dos teoremas siempre que el antecedente de uno sea el consecuente del otro. Si esto último ocurre entonces podrá demostrarse la implicación del antecedente del segundo al consecuente del primero. Es decir, si ⊢ p → q y ⊢ q → r, entonces ⊢ p → r (si pueden demostrarse p → q y q → r, también puede demostrarse, entonces, p → r). Y la razón por la que esto ocurre así hay que buscarla, lógicamente, en la reflexividad de la implicación material¹.


En la lógica proposicional puede probarse una regla de transitividad. Sean A, B y C proposiciones bien formadas arbitrariamente escogidas, que incluyan cualquier número de variables, de conectivas y paréntesis; con la condición de que existan pruebas tanto para A → B como para B → C. Es decir, A implica B y B implica C. Ahora sustituímos en la ley de transitividad p/A, q/B y r/C, nos queda:

A → B → [B → C →. A → C]

Pero como convenimos en escoger A y B de modo tal que sabemos que A → B, luego, por modus ponens, tenemos:

B → C →. A → C

Nuevamente, como habíamos convenido en que B → C era una proposición necesariamente verdadera, luego:

A → C

Así, de ⊢ A → B y ⊢ B → C se sigue ⊢ A → C


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1. Ocurre de una manera similar a cuando decimos que un silogismo categórico compuesto de tres proposiciones universales afirmativas es válido. Este "modo" de silogismo, es decir, uno compuesto con tres proposiciones universales afirmativas, se ha dado en llamar BARBARA. ¿Por qué? Sencillamente, porque la proposición universal afirmativa, es decir una que predique algo de la totalidad de lo que pone como sujeto del asreto, se llama A. Como las tres llevan esa forma, tienen esa letra por nombre. En BARBARA encontramos esa letra tres veces. Digamos que no se ha encontrado una razón lógica para que sea así, es decir, por qué se han agregado las dos B y las dos R. Suele decirse que el listado de los modos (que incluye otros como CELARENT, DARII, etc.) se ha hecho de esa manera para memorizarlas facilmente.

En fin, en este modo del silogismo categórico, el término medio es el predicado de la premisa mayor y el sujeto de la premia menor, mientras que el término menor es sujeto de la mayor. Un ejempl sería:

Todas las disonancias acústicas son también disonancias artmónicas. Los acordes con quinta dismonuída son disonantes desde el punto de vista acústico. Luego, los acordes con quinta disminuída son disonantes desde el punto de vista armónico.


Hay una relación que se establece entre los términos en las proposiciones universales afirmativas (A). Y esa relación es transitiva. Pero en ambos casos no es la misma relación (son dos relaciones con una misma propiedad). Una cosa es el modo de inferir un enunciado en base a la relación que en su interior mismo se establece, dado que existen otros dos enunciados que lo permiten hacer, a afirmar que entre dos enunciados existe una determinada relación, basándose en que un tercer enunciado se relaciona con uno de un modo, con le otro del recíproco, teniendo en cuenta esa misma relación. La diferencia, que es la base de la separación de la lógica en proposicional y de de predicados, estriba en que en un caso el enunciado es la unidad mínima de análisis, mientras que en el otro éste es analizado en predicados y aquello de lo que se predica, argumento y función diría Frege.

martes, 19 de febrero de 2013

De una peculiaridad observable del uso teórico de la Razón Pura

El relativamente ínfimo (con respecto a su totalidad) número de matemáticos con los que he intercambiado opiniones y puntos de vista, me ha transmitido la opinión de que afinca una considerable distancia entre la sintaxis de la lógica meramente proposicional y los cursos por donde su razonamiento frecuenta. No pocas veces, tratándose de ello, sus razonamientos tiene la forma: "las tablas de verdad siempre bastan para decidir si una fórmula proposicional debe aceptarse ¿para qué entonces andar dedicando tiempo a rodeos por el lenguaje objeto si con las tablas se responden todas las preguntas allí posibles?".

En efecto, la semántica es suficiente, por sí misma, porque el sistema del cálculo de enunciados es completo y consistente. Una fórmula pasa la prueba de las tablas de verdad si (y sólo si) es válida. Y cómo se trata de una semántica basada sólo en dos funciones, la función unaria de la negación y la función binaria de la implicación material, cuyos dominios y rangos se construyen con sólo dos elementos, se estima, por añadidura, en poco el sistema en cuestión¹.

No obstante, cuando se trata de hacer demostraciones en dicho ámbito proposicional, se recurre en ocasiones a consabidos metateoremas como el de la deducción que han llevado la tarea a un grado tal de parsimonia, que incluso resulta más conveniente aún eso que el trazado sobre el papel de las tablas de veradad.

Es que la ciencia, se dirá, debe seguir su curso incesante de progreso, sin detenerse en problemas harto sabidos, resueltos ya por las generaciones de nuestros antepasados, sino afrontar los desafíos siempre nuevos, aquellos cuya solución nos aguarde aún.

Pero ¿pueden ser esgrimidos motivos formalistas en sentido estricto para ello, o sólo lógicos en sentido metafórico, con lo insuficiente de esto último al punto de vista que debe seguir la ciencia? El mismo Kant, en su Crítica de la Razón Práctica fue de esta opinión. Pero pese a que, si bien usualmente sustituyendo por autores más actuales el nombre del filósofo de Königsberg, argumentos así no son infrecuentes, no nos sería lícito conformarnos con eso.

¿Y si nos fuera lícito dudar de todo hasta el punto de preguntarnos si todo el progreso de la saber científico no es más que una serie de vueltas en círculo eludiendo siempre los mismos e irresueltos problemas? Muy probablemente parezca al lector semejante duda demasiado extrema como para justificar aun el ocuparse en examinar sus derechos, los indicios en su favor y en su contra. Además, la progresividad del sendero de la ciencia parece una verdad tan natural que ponerla en entredicho sólo puede dar la impresión de una broma.

Se trata, evidentemente, de un falso problema. El movimiento deductivo, por llamarlo así, va sumando nuevos teoremas y metateoremas, sin contramarcha alguna, a veces más rápidamente, otras menos, nadie habrá que dude de eso. Y a la vez, aquello cuya forma no sea la que nuestra facultad cognoscitiva requiere que su objeto posea para entenderlo, —y que por tanto será inocuo a ese movimiento— no dará noticias pues quien transita ese camino hace tiempo ha aprendido a no comlicarse en su trayecto en formas tales. Pero nada de eso prueba, de ningún modo, que al franquear los límites de la razón pura especulativa no pueda la presencia de aquello volverse presente.

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NOTA:
1. Y ni hablar de los puentes que puedan trazarse entre la lógica formal, ciencia necesariamente pura, y aquellas situaciones necesariamente informales en que se hace uso de la lógica, como cuando alguien quiere explicar la absoluta imposibilidad de un hecho, por ejemplo (para lo cual de nada serviría esgrimir motivos empíricos), etc.

viernes, 15 de febrero de 2013

La transitividad de la implicación material

La implicación material es una relación entre dos enunciados. Siempre que tengamos dos de ellos cualesquiera, entonces la relación se mantiene entre ambos en alguna de las dos formas en que esto puede ocurrir, es decir implicando uno al otro o vice versa. Esto es bastante curioso, e incluso bastante extraño. Los lógicos han terminado por ponerse de acuerdo en dar este significado a la implicación y no otras, como el de la «implicación estricta» por ejemplo.

De todas formas, no era a eso a lo que me iba a referir, sino una propiedad que puede demostrarse de la relación en cuestión, a saber, la transitividad. Esto quiere decir que dadas tres proposiciones, si alguna es implicada por una de las otras e implica la restante, entonces esta última es implicada también por la otra. Más fácil de ver: si p → q y si q → r, entonces p → r. Puede formularse así:

p → q → [q → r →. p → r] (ley de transitividad de la implicación material)

Lo cual puede ser de utilidad en caso de que alguien quiera probar una implicación y ya haya probado las dos premisas. Es como si tuviéramos una regla que dijera: p → q, q → r ⊢ p → r, de lo cual se deduce lo anterior mediante el teorema de la deducción. También se podría probar, apelando a dicho teorema, del modo siguiente.

Esto p → q, q → r, p ⊢ r se prueba ya que de p → q y p se obtiene q (por modus ponens), y de q y q → r, por el mismo motivo se obtiene r, que es lo que se quería probar. Por otro lado, si llegamos a tener probado p → q y q → r, entonces con la fórmula p → q → [q → r →. p → r] nos basta, pues inferimos primero q → r →. p → r (por modus ponens) y luego p → r. Esto puede hacerse incluso incluso con las premisas en otro orden, es decir en base a:

q → r → [p → q →. p → r] (segunda ley de transitividad de la implicación material)

Lo cual se prueba mediante el teorema de la deducción del mismo modo, pero también del siguiente (véase este post para los axiomas y las reglas):

Probaremos primero dos lemas que harán más legible, creo, la demostración.

Lema I: si ⊢ A, luego ⊢ B → A

Prueba:

1 Sea ⊢ A
2 A →. B → A Axioma I
3 B → A modus ponens, 1 y 2.

Lema II: si ⊢ A →. B → C, luego ⊢ A → B →. A → C

Prueba:

1 Sea ⊢ A →. B → C
2 [A →. B → C] → [A → B →. A → C] Axioma II
3 A → B →. A → C modus ponens, 1 y 2.

Entonces tenemos:

1 [p →. q → r] → [p → q →. p → r]
    Axioma II

2 q → r →. [p →. q → r] → [p → q →. p → r]
   Lema I, 1.

3 q → r → [p →. q → r] →. q → r → [p → q →. p → r]
   Lema II, 2.

4 q → r → [p →. q → r]
   Axioma I.

5 q → r → [p → q →. p → r]  
   modus ponens, 3 y 4.


Y si queremos probar el teorema con las premisas en el orden habitual (lo cual puede ser de mayor utilidad en ciertos casos), procedemos así:

1 p → r → [p → q →. p → r]
   Axioma I, Sust.

2 [q → r →.p → q] → [q → r →. p → r]
   Lema II, teorema anterior

3 p → q → [q → r →. p → q]
   Axioma I, Sust.

4 [q → r →.p → q] → [q → r →. p → r] → [p → q → [q → r →. p → q] →. p → q → [q → r →. p → r]]

Para el caso en que no resulte del todo legible este último teorema (4), lo escribiremos con la siguiente convención: pq siginificará p → q, pq → r será p → q → r, y p → qr será p →. q → r, etc.

4' [qr → pq →. qr → pr] → [[pq →. qr → pq] → [pq →. qr → pr]]
     ley de transitividad infra.
      
5 p → q → [q → r →. p → q] →. p → q → [q → r →. p → r]]  
   modus ponens, 2 y 4.

5' [pq →. qr → pq] → [pq →. qr → pq]

6 p → q → [q → r →. p → r]  
    modus ponens, 3 y 5.