La transitividad de la implicación material

La implicación material es una relación entre dos enunciados. Siempre que tengamos dos de ellos cualesquiera, entonces la relación se mantiene entre ambos en alguna de las dos formas en que esto puede ocurrir, es decir implicando uno al otro o vice versa. Esto es bastante curioso, e incluso bastante extraño. Los lógicos han terminado por ponerse de acuerdo en dar este significado a la implicación y no otras, como el de la «implicación estricta» por ejemplo.

De todas formas, no era a eso a lo que me iba a referir, sino una propiedad que puede demostrarse de la relación en cuestión, a saber, la transitividad. Esto quiere decir que dadas tres proposiciones, si alguna es implicada por una de las otras e implica la restante, entonces esta última es implicada también por la otra. Más fácil de ver: si p → q y si q → r, entonces p → r. Puede formularse así:

p → q → [q → r →. p → r] (ley de transitividad de la implicación material)

Lo cual puede ser de utilidad en caso de que alguien quiera probar una implicación y ya haya probado las dos premisas. Es como si tuviéramos una regla que dijera: p → q, q → r ⊢ p → r, de lo cual se deduce lo anterior mediante el teorema de la deducción. También se podría probar, apelando a dicho teorema, del modo siguiente.

Esto p → q, q → r, p ⊢ r se prueba ya que de p → q y p se obtiene q (por modus ponens), y de q y q → r, por el mismo motivo se obtiene r, que es lo que se quería probar. Por otro lado, si llegamos a tener probado p → q y q → r, entonces con la fórmula p → q → [q → r →. p → r] nos basta, pues inferimos primero q → r →. p → r (por modus ponens) y luego p → r. Esto puede hacerse incluso incluso con las premisas en otro orden, es decir en base a:

q → r → [p → q →. p → r] (segunda ley de transitividad de la implicación material)

Lo cual se prueba mediante el teorema de la deducción del mismo modo, pero también del siguiente (véase este post para los axiomas y las reglas):

Probaremos primero dos lemas que harán más legible, creo, la demostración.

Lema I: si ⊢ A, luego ⊢ B → A

Prueba:

1 Sea ⊢ A
2 A →. B → A Axioma I
3 B → A modus ponens, 1 y 2.

Lema II: si ⊢ A →. B → C, luego ⊢ A → B →. A → C

Prueba:

1 Sea ⊢ A →. B → C
2 [A →. B → C] → [A → B →. A → C] Axioma II
3 A → B →. A → C modus ponens, 1 y 2.

Entonces tenemos:

1 [p →. q → r] → [p → q →. p → r]
    Axioma II

2 q → r →. [p →. q → r] → [p → q →. p → r]
   Lema I, 1.

3 q → r → [p →. q → r] →. q → r → [p → q →. p → r]
   Lema II, 2.

4 q → r → [p →. q → r]
   Axioma I.

5 q → r → [p → q →. p → r]  
   modus ponens, 3 y 4.


Y si queremos probar el teorema con las premisas en el orden habitual (lo cual puede ser de mayor utilidad en ciertos casos), procedemos así:

1 p → r → [p → q →. p → r]
   Axioma I, Sust.

2 [q → r →.p → q] → [q → r →. p → r]
   Lema II, teorema anterior

3 p → q → [q → r →. p → q]
   Axioma I, Sust.

4 [q → r →.p → q] → [q → r →. p → r] → [p → q → [q → r →. p → q] →. p → q → [q → r →. p → r]]

Para el caso en que no resulte del todo legible este último teorema (4), lo escribiremos con la siguiente convención: pq siginificará p → q, pq → r será p → q → r, y p → qr será p →. q → r, etc.

4' [qr → pq →. qr → pr] → [[pq →. qr → pq] → [pq →. qr → pr]]
     ley de transitividad infra.
      
5 p → q → [q → r →. p → q] →. p → q → [q → r →. p → r]]  
   modus ponens, 2 y 4.

5' [pq →. qr → pq] → [pq →. qr → pq]

6 p → q → [q → r →. p → r]  
    modus ponens, 3 y 5.