Ley de reductio ad absurdum

La reductio ad absurdum es una manera muy habitual de proceder, no sólo dentro de la actividad deductiva. Básicamente, ella consiste en el rechazo del absurdo, que nuestra razón parece realizar espontáneamente. No es mi intención sin embargo dejar sentado este último aserto. Existen quienes (yo hablé con uno hace poco) niegan que, el otrora llamado animal racional, proceda ni aún las más de las veces de tal modo. Una posición en cierto modo sintética (y en sentido estricto, no) es la que considera la actividad humana como no rigiéndose todas las veces según ese principio, pero pudiendo hacerlo, aunque no particularmente inclinado a ello. En apoyo de tal idea del hombre se aboga, en numerosas oportunidades, el testimonio de la experiencia según la cual el mantenimiento estricto de las leyes de la lógica en el acto de pensar supone cierto esfuerzo a falta de cual no está garantizado. Así, el hombre sería libre de ser racional, pero pudiendo dar otros usos a su arbitrio. Aunque esto a riesgo de descaminarse, pues la verdad sólo puede ser racional, y cualquier afirmación que no lo sea será banal, no será, en rigor, más que nada.

Un inconveniente con dicha concepción fue señalado por el mismo Descartes en su cuarta meditación¹, pues no es lo mismo el error que la ignorancia. No es lo mismo, por ejemplo, pretender haber probado una contradicción, que no poseer la prueba de su negación. Tal y como lo apunta el filósofo, se trata de dos órdenes ditintos, los que Kant llama práctico y especulativo. Creer que uno ha probado una contradicción es un acto, así como lo es la restitución de un depósito por ejemplo. Hay actos encomiables y también los hay reprochables. Pero también hay otros que no son ni tanto ni tan poco. Las afirmaciones, se pueda o no decidir esto, son verdaderas o no lo son, tertium non datur.

Claro que esto último puede considerarse una posición un poco extrema. ¿No hay sistemas lógicos que no son binarios acaso? ¿Y eso no prueba su posibilidad? ¿Pero entonces son racionales o no?

En la modernidad se solía dividir las aguas de manera tajante: el conocimiento y el voluntad. Para Descartes es una confusión entre ambos la fuente del error:

"¿De dónde nacen, pues, mis errores? Nacen de que la voluntad, siendo mucho más amplia y extensa que el entendimiento, no se contiene dentro de los mismos límites, sino que se extiende, además, a las cosas que no comprendo, y, como de suyo es indiferente, se extravía con mucha facilidad y elige lo falso en lugar de lo verdadero, el mal en vez del bien; y esta es la causa por la cual me engaño y peco" (op. cit).

Se ve con claridad que la división no es completa. Uno podría deducirla de la misma exhortación que se hace para mantener la línea divisoria, pues si hay que advertir al respecto es porque, cuando menos, la confusión es una posobilidad. Esta misma conclusión puede obtenerse también sin apelar si quiera al modus tollens. El entendimiento es la facultad humana de concebir la verdad, expresada en sentencias, cuyo uso se consuma en la aseveración de las mismas. Toda aseveración es una acción humana. Por ende, el entendimeinto está subsumido (como bien afirmó Kant) a la praxis. De este modo, las discusiones sobre si el hombre es o no racional en el sentido en que sólo ha de sobordinarse al imperio de la razón es cuestión de razón práctica, no especulativa.

Podemos entonces proseguir describiendo en qué consiste esta ley de reducción al absurdo. Desde un punto de vista retórico, uno diría: se reduce el argumento que se quiere criticar a algún absurdo, es decir, se deduce de él una contradicción por todos conocida, y así se lo descarta. De modo formal diríamos: si una proposición permite inferir una contradición, entonces es falsa. Y la contradicción puede definirse con contar con dos proposiciones, una de las cuales es la negación de la otra, p y ~p. Así, en símbolos:

p → q, p → ~q ⊢ ~p

Usanto el teorema de la deducción podemos probar, en tres pasos:

p → q →. p → ~q → ~p (ley de reductio ad absurdum)

Pero procedamos ahora a demostrarla para esta formulación de la lógica proposicional de otra manera.

Primero probemos el converso del tercer axioma, a saber: p → q →. ~q → ~p.

1   q → ~~q →. p → q →. p → ~~q
    Ley de Transitividad-I.

2  p → q →. p → ~~q
     modus ponens, 1 y converso de doble negación.

3  ~~p → p →. p → ~~q →.~~p → ~~q
     Transitividad-I


4  p → ~~q →.~~p → ~~q
    modus ponens, 3 y doble negación

5  p → q →. ~~p → ~~q
    Regla de transitividad , 2, 4.

6   ~~p → ~~q →. ~q → ~p
     Axioma III

7   p → q →. ~q → ~p
     Regla de transitividad, 5 y 6.

Ahora consideremos que ~p es equivalente a p → ~[r → r] dado que el consecuente de eta fórmula es necesariamente falso y por lo tanto el condicional lo será también si (y sólo si) el antecedente es verdadero. Para probar esto escribimos:

1 ~p →. p → ~[r → r]
    EFSQ


2   p → ~[r → r] →. ~~[r → r] → ~p
     modus tollens

3   [p → ~[r → r] →. ~~[r → r]] →. p → ~[r → r] → ~p
     Lema 2,  2

4  ~~[r → r]
     R1: Doble negación y ref→

5  ~~[r → r] →. p → ~[r → r] →. ~~[r → r]
     R2: Ax1

6   p → ~[r → r] →. ~~[r → r]
     R1: 4 y 5

7   p → ~[r → r] → ~p
     R1: 3 y 6

Así:

* ~p ≡ p → ~[r → r]

Seguimos de este modo:

**  [p →. q → ~[r → r]] →. p → q →. p → ~[r → r]
     Axioma II

La equivalencia cuya prueba está dada arriba permitiría probar, en caso de contar con el teorema de sustitución de la equivalencia, con ** el teorema: p → ~q →. p → q → ~p, que no es otra cosa que una versión de la reducción al absurdo con las premisas permutadas. Como no usaremos ese teorma de sustitución recurriremos, primero, a la regla de la transitividad:

1  [~q →. q → ~[r → r]] →. p → ~q →. p →. q → ~[r → r]
    (ley de transitividad)

2  p → ~q →. p →. q → ~[r → r]
    modus ponens, 1 y *

3  p → ~q →. p → q →. p → ~[r → r]
    Regla de transitividad, 2 y **

4  p → ~[r → r] → ~p →. [p → q →. p → ~[r → r]] →. p → q →. ~p
    (segunda ley de transitividad)

5  [p → q →. p → ~[r → r]] →. p → q → ~p
    modus ponens 4 y *

6 *** p → ~q →. p → q →. ~p
   Regla de transitividad, 3 y 5.

Con esto hemos probado la reducción al absurdo, si bien con las premisas en el orden inverso al habitual. Para obtener esta última nos servimos de la ley de conmutación:

1  [p → ~q →. p → q →. ~p] →. p → q →. p → ~q →. ~p
    ley de conmutación
2  p → q →. p → ~q →. ~p
    modus ponens, 1 y ***


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1. Descartes, Meditaciones Metafísicas
2. Se trata de la segunda de las leyes de la transitivida de →, cuyas premisas conmutan las de la primera.

Ex falso sequitur quodlibet

La solución al primero de los ejercicios de este post, el cual consistía en demostrar que p ⊃ p, o sea la reflexividad de la implicación material, puede hallarse en este lugar (otra prueba pero basada en otros fundamentos, acá). Así que veamos en esta ocasión el que le sigue, que requería de la prueba del ex falso sequitur quodlibet (EFSQ), es decir de:

~p ⊃. p ⊃ q

Con esta ley ocurre que en caso de tener demostrada alguna fórmula y también su negación podría demostrarse cualquiera, de modo que ofrece importantes motivos para excluír toda contradicción del sistema, a fin de no volverlo superfluo. Dado que la demostración de una fórmula y su negación es en sí una contradicción, y que la contradicción es una fórmula necesariamente falsa, se entiende su nombre, que de lo falso se sigue cualquier cosa Veamos una prueba:

1 [~q → ~p →.p → q] → [~p → [~q → ~p →.p → q]]
 Axioma I, Sust.

2 ~p → [~q → ~p →.p → q] → [[~p →. ~q → ~p] → [~p →.p → q]]
  Axioma II, Sust.

3 ~q → ~p →.p → q
   Axioma III, Sust.

4 ~p → [~q → ~p →.p → q]
   modus ponens, 1 y 3.

5 [~p →. ~q → ~p] → [~p →.p → q]
  modus ponens, 2 y 4.

6 ~p →. ~q → ~p
  Axioma I, Sust.

7 ~p →.p → q
  modus ponens, 5 y 6.

Así como esta última fórmula, se puede probar desde luego otra versión del mismo principio en el cual se permutan las hipótesis, es decir de p →. ~p → q. Veamos.

1 p → ~~p
    doble negación¹

2 ~~p →. ~p → q
    EFSQ (infra)

3 [p → ~~p] → [~~p →. ~p → q → [p →. ~p → q]]
    ley de transitividad de →

4 ~~p →. ~p → q → [p →. ~p → q]
   modus ponens, 1 y 3.

5 p →. ~p → q
    modus ponens, 2 y 4.

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1. El lector habrá notado que no figura en este post una prueba de esta ley de doble negación, ni se linkea una en él. Sin embargo, tal prueba puede ofrecerse, puede quedar para el interesado.