sábado, 13 de abril de 2013

Sustitutividad de la equivalencia, segunda parte.

Ahora consideremos, siguiendo con el post anterior sobre la sustitutividad de la equivalencia, que se realiza la sustitución y hay alguna ocurrencia en A de algún →, ~ o ∀. 

Existen tres casos: 

1) A es A₁ → A₂, 

2)A es ~A₁ y 

3) A es ∀xA₁. 


Primer caso: A es A₁ → A₂

Aquí (salvo en el caso a, ver post anterior) B es B₁ → B₂ donde B₁ y B₂ resultan por sustitución de M por N en A₁ y A₂. Por hipótesis de inducción:


*1) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ ≡ B₁ y
*2) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₂ ≡ B₂


Necesitamos probar, entonces, que de (*1) y (*2) se sigue el teorema.

Primero probemos T₁:

p → q →. r → s →. q → r →. s → t

Cuando figuren dos letras proposicionales una al lado de la otra así: pq, significará [p → q].

a) pq →. qr →. ps
transitividad de →

b) ps →. st →. pt
transitividad de →

c) [ps →. st → pt] →. qr → ps →. qr →. st → pt
transitividad de →

d) qr → ps →. qr →. st → pt
modus ponens (c y b)

e) pq →. qs →. st → pt
Regla de transitividad, (a y d)

f) p → qr →. q → pr
ley de conmutación

g) [qs →. st → pt] →. st →. qs → pt
R2, (f)

h) pq →. st →. qs → pt
Regla de transitividad (e y g)

Ahora probemos T₂: 

[p →. q → rs] →. pq →. pr → ps

a) [p →. r → s] →. pr → ps
Axioma 2

b) [p →. q → rs] →. pq →. p → rs
Axioma 2

c) [p → rs →. pr → ps] →. [pq →. p → rs] →. pq →. pr → ps
ley de transitividad de → 2

d) [pq →. p → rs] →. pq →. pr → ps
modus ponens (c y a)

e) [p →. q → rs] →. pq →. pr → rs
Regla de transitividd, (b y d)


Ahora escojamos cinco fórmulas cuales quiera A₁, A₂, B₁, B₂ y C tales que sea

*11) ⊢ C →. A₁ → B₁, ⊢ C →. A₂ → B₂
*12) ⊢ C →. A₂ → B₂ y ⊢ C →. A₂ → B₂

(es decir ⊢ C →. A₁ ≡ B₁ y ⊢ C →. A₂ ≡ B₂)

Tenemos:

a) B₁ → A₁ →. A₂ → B₂ →. A₁ → A₂ →. B₁ → B₂ y
b) A₁ → B₁ →. B₂ → A₂ →. B₁ → B₂ →. A₁ → A₂
ambos por regla 2, T₁.

Sustituyendo en T₂, obtenemos (c) y (d):

c) [C →. B₁A₁ →. A₂B₂ →. A₁A₂ → B₁B₂] →. C → B₁A₁ →. C → A₂B₂ →. C →. A₁A₂ → B₁B₂
d) [C →. A₁B₁ →. B₂A₂ →. B₁B₂ → A₁A₂] →. C → A₁B₁ →. C → B₂A₂ →. C →. B₁B₂ → A₁A₂

Luego:

e) C →. B₁A₁ →. A₂B₂ →. A₁A₂ → B₁B₂
Lema 1, (a)
f) C →. A₁B₁ →. B₂A₂ →. B₁B₂ → A₁A₂
Lema 1, (b)

Y entonces

h) C → B₁A₁ →. C → A₂B₂ →. C →. A₁A₂ → B₁B₂
i) C → A₁B₁ →. C → B₂A₂ →. C →. B₁B₂ → A₁A₂

ambos por modus ponens (c y e) y (d y f). Esto se cumple para cualesquiera fórmulas (bf) C, A₁, A₂, B₁ y B₂.

Ahora sustituímos C por ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] (regla de sust.), con lo cual obtenemos:

h') [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₁ → A₁] →. [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₂ → B₂] →. ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ → A₂ →. B₁ → B₂

i') [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ → B₁] →. [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₂ → A₂] →. ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₁ → B₂ → A₁ → A₂


Entonces (recuérdense las hipótesis de la inducción *1 y *2):

j) [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₂ → B₂] →. ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ → A₂ →. B₁ → B₂
modus ponens, (h' y *1)

k) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ → A₂ →. B₁ → B₂
modus ponens, (j y *2)

l) [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₂ → A₂] →. ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₁ → B₂ → A₁ → A₂
modus ponens, (i' y *1)

m) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₁ → B₂ → A₁ → A₂
modus ponens (l y *2)

Y como A es A₁ → A₂ y B es B₁ → B₂, luego hemos probado:

n) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A ≡. B

Ahora el segundo caso: A es ~A₁

Así, B es ~B₁ y nuestra hipótesis de inducción establece que

*) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ ≡ B₁

Debemos probar

[C →. q ≡ r] →. C → ~q ≡ ~r

y sustutuir C por la hipótesis, q por A₁ y r por B₁ para obtener por modus ponens lo que queremos, de modo similar al primer caso.

Sabemos por el axioma 3 y por modus tolens que:

a) q ≡ r →. ~q ≡ ~r

Por otra parte:

b) p → q →. C →. p → q
Axioma 1

c) [C →. p → q] →. C → p →. C → q
Axioma 2

d) [C →. q ≡ r →. ~q ≡ ~r] →. C → q ≡ r →. C →. ~q ≡ ~r
Sustituyendo en (b)

e) C →. q ≡ r →. ~q ≡ ~r
lema 1, (a)

f) C → q ≡ r →. C →. ~q ≡ ~r
modus ponens (d y e)

Finalmente, nos queda el tercer caso: A es ∀xA₁

Aquí, B es ∀xB₁. hay que probar:

A ≡ₓ B →. (x)A ≡ (x)B

Y con eso obtenemos la prueba utilizando la transitivida de →.

Sabemos, desde luego, que:

a) A ≡ B →. A → B y

b) A ≡ B →. B → A , por la definición de ≡.

c) ∀x[A ≡ B] →. A → B
regla 5 y reflexividad de →

d) ∀x[A ≡ B] →. ∀x[A → B]
Lema 4

e) (x)A → A
regla 5

f) [p →. q → r] →. s → q →. p → s → r
ver prueba

g) [A ≡ₓ B →. A → B] →. (x)A → A →. [A ≡ₓ B →. (x)A → B]
sust, (f)

h) (x)A → A →. [A ≡ₓ B →. (x)A → B]
modus ponens, (g y c)

i) A ≡ₓ B →. (x)A → B
modus ponens, (h y e)

j) A ≡ₓ B →. (x)A →ₓ B
lema 4, i

k) (x)A →ₓ B →. (x)A → (x)B
Axioma 4

l) A ≡ₓ B →.(x)A → (x)B
Regla de transitividad

viernes, 12 de abril de 2013

Sustitutividad de la equivalencia

El sistema axiomático de Nicod-Lukasievicz se caracteriza por bastar para abarcar a la lógica proposicional en su conjunto, quiero decir, para probar cada uno de sus teoremas, y no contar más que con un solo teorema y dos reglas de inferencia. Su nombre tiene el de dos personas pues la primera de ellas no dió su versión definitiva sino que su versión del axioma difería en el número de variables proposicionales del de la segunda según quien, por otra parte, había omitido explicitar que el sistema incluía la regla de sustitución −además de faltarle un paso en la demostración de la reflexividad de → al publicarlo−, (ver).

Tal regla de sustitución, que puede encontrarse como conformando este sistema axiomático de lógica de primer orden, afirma que una variable proposicional puede ser sustituída por una fórmula cualquiera constituyendo un paso válido de prueba.

Algunos sistemas axiomáticos prescinden de ella. Por ejemplo, si el citado es reemplazado por uno en que en lugar de los axiomas presentara "esquemas de axiomas" de la misma forma pero que en lugra de p → [q → p], etc., sea A → [B → A], etc., donde A y B no son variables proposicionales sino lugares a ser ocupados por fórmulas cualesquiera; entonces la regla de sustitución podría ser una regla derivada (omitimos la prueba en este post).

Pero cuando hablamos de "sustitutividad de la equivalencia" nos referimos a una cosa completamente distinta. Con ello mentamos que si dos fórmulas son equivalentes y una de ella es una parte de una tercera, entonces la resultante de sustituir en esta última tal fórmula por la otra (su equivalente), es equivalente con ella. Por si resulta más claro, en símbolos:

Si M ≡ N, y si B resulta de sustituir N por M en A en cero o más lugares, entonces A ≡ B.

Es decir que B es S[N/M]A|, y que si ⊢ M ≡ N, luego ⊢ A ≡ B.

Una muy útil regla de inferencia que se sigue de ella es que si B es S[N/M]A|, si ⊢ M ≡ N y si ⊢ A, luego ⊢ B. Una muestra suficiente de su utilidad está en que con ella, en conjunto con algunos teoremas del cálculo restringido de predicados, puede probarse que cualquier fórmula tiene una equivalente en forma normal prenexa. Lo cual es un paso para una de las demostraciones de la completitud semántica de dicho cálculo. Probemosla, pues por inducción, según el número de ocurrencias de los signos →, ~ y ∀. Formulemos el teorema para la lógica de primer orden:

Si B resulta de A por sustitución de N por M en cero o más lugares de A (no necesariamente todas las ocurrencias de M en A), y si x₁, x₂, ..., xₙ es una lista de variables individuales que incluye al menos todas aquellas variables libres en M y en N que ocurren también como variables ligadas en A, entonces: ⊢ ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A ≡ B

Primero veamos los casos a) la sustitución de N por M tiene lugar en cero lugares en A, y b) M coincide con A y se sustituye una ocurrencia de M en A.

a) En este caso B es lo mismo que A por que se obtiene de A sin cambiar nada en ella. Luego,

∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ B
es lo mismo que
∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ A

Sustituyendo en el axioma 1 (ver post citado):

A ≡ A →. ∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ A
Como A ≡ A (por reflexividad de la implicación material), luego, por modus ponens:

∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ A

b) En este caso A es lo mismo que M y B lo mismo que N. De modo que:

∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ B
en nada difiere de
∀x₁x₂...xₙ[A ≡ B] →. A ≡ B

Pero dicha fórmula se obtiene por medio del axioma 5 aplicado n veces y la regla de transitividad.


Debemos considerar ahora que se realiza la sustitución y hay alguna ocurrencia en A de algún →, ~ o ∀. 

Existen tres casos: 
1) A es A₁ → A₂,

2)A es ~A₁ y 

3) A es ∀xA₁. 

Lo que resta puede leerse en el siguiente post.