miércoles, 28 de agosto de 2013

Una numeración para fórmulas

En este blog, al escribir fórmulas de la lógica proposicional, usamos la convención que resulta en lo siguiente:

En una fórmula, a falta de corchetes, se agrupa primero el que se encuentra a la izquierda, es decir que prevalece el de la derecha. Así, de estas dos últimas fórmulas, p → q → p es la segunda. Por otra parte, puede figurar un punto junto a una flecha, así: "→.", lo cual significa que desde el lugar donde se coloca el punto habrá un corchete izquierdo que se cerrará con uno derecho ubicado al final de la fórmula, salvo que dicho punto se encuentre encerrado entre corchetes, en cuyo caso el derecho correspondiente al que se ubica en el lugar del punto estará inmediatamente antes que el derecho que cierra la subfórmula entre corchetes donde se encuentra el punto.

Numeramos los símblos de esta manera:

1 [
2 →
3 ]
4 ~

Para ordenar las fórmulas haremos así: se genera el código asociado de cada fórmula y se ordena alfabéticamente colocando primero las letras y luego los números (que representan los símbolos impropios). Recuérdese que a nunguna fórmula bien formada pueden faltar los corchetes extremos. Así, p no es bien formada mienbtras que [p] sí lo es. Para evitar la excesiva sobreabundancia de corchetes, para la negación usaremos la cantidad mínima para que no haya equivocidad. Se agrupará antes una ~ que un →.

domingo, 18 de agosto de 2013

p → q → p → p


1.   p → q → p →. ~p → ~.p → q
     Sustitución en modus tollens

2.   [~p →. p → q] →. ~p → ~[p → q] →. ~~p
     Sustitución en reductio ad absurdum
 

3.  [~p → ~.p → q] → ~~p
     Modus ponens (2 y Ex falso sequitur quodlibet)
 

4.   p → q → p → ~~p
     Regla de Transitividad (1 y 3)

5.   p → q → p → p
     Regla de Transitividad (4 y Doble negación)



Esta la fórmula ha de escribirse, en su forma desplegada : [[[p → q] → p] → p]. Según las convenciones adoptadas por Church se escribe también como figura en el título y en (5).

viernes, 16 de agosto de 2013

p →. p → q → q

1.  p → q →. p → q
     Por reflexividad de →

2.  p → q → p →. p → q → q
     Lema 2, 1

3.  p →. p → q → p →. p → q. → q
     Lema 1, 2

4.  p → [p → q → p] →. p → .p → q. → q
     Lema 2, 3

5.  p → .p → q → q
     Modus Ponens 1 y 4

 Esta fórmulas, una vez restaurados los paréntesis, se escribe: [p → [[p → q] → q]].