lunes, 25 de febrero de 2013

La transitividad como regla

El teorema p → q → [q → r →. p → r] una de cuyas pruebas figura acá, permite deducir una implicación en base a otros dos teoremas siempre que el antecedente de uno sea el consecuente del otro. Si esto último ocurre entonces podrá demostrarse la implicación del antecedente del segundo al consecuente del primero. Es decir, si ⊢ p → q y ⊢ q → r, entonces ⊢ p → r (si pueden demostrarse p → q y q → r, también puede demostrarse, entonces, p → r). Y la razón por la que esto ocurre así hay que buscarla, lógicamente, en la reflexividad de la implicación material¹.


En la lógica proposicional puede probarse una regla de transitividad. Sean A, B y C proposiciones bien formadas arbitrariamente escogidas, que incluyan cualquier número de variables, de conectivas y paréntesis; con la condición de que existan pruebas tanto para A → B como para B → C. Es decir, A implica B y B implica C. Ahora sustituímos en la ley de transitividad p/A, q/B y r/C, nos queda:

A → B → [B → C →. A → C]

Pero como convenimos en escoger A y B de modo tal que sabemos que A → B, luego, por modus ponens, tenemos:

B → C →. A → C

Nuevamente, como habíamos convenido en que B → C era una proposición necesariamente verdadera, luego:

A → C

Así, de ⊢ A → B y ⊢ B → C se sigue ⊢ A → C


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1. Ocurre de una manera similar a cuando decimos que un silogismo categórico compuesto de tres proposiciones universales afirmativas es válido. Este "modo" de silogismo, es decir, uno compuesto con tres proposiciones universales afirmativas, se ha dado en llamar BARBARA. ¿Por qué? Sencillamente, porque la proposición universal afirmativa, es decir una que predique algo de la totalidad de lo que pone como sujeto del asreto, se llama A. Como las tres llevan esa forma, tienen esa letra por nombre. En BARBARA encontramos esa letra tres veces. Digamos que no se ha encontrado una razón lógica para que sea así, es decir, por qué se han agregado las dos B y las dos R. Suele decirse que el listado de los modos (que incluye otros como CELARENT, DARII, etc.) se ha hecho de esa manera para memorizarlas facilmente.

En fin, en este modo del silogismo categórico, el término medio es el predicado de la premisa mayor y el sujeto de la premia menor, mientras que el término menor es sujeto de la mayor. Un ejempl sería:

Todas las disonancias acústicas son también disonancias artmónicas. Los acordes con quinta dismonuída son disonantes desde el punto de vista acústico. Luego, los acordes con quinta disminuída son disonantes desde el punto de vista armónico.


Hay una relación que se establece entre los términos en las proposiciones universales afirmativas (A). Y esa relación es transitiva. Pero en ambos casos no es la misma relación (son dos relaciones con una misma propiedad). Una cosa es el modo de inferir un enunciado en base a la relación que en su interior mismo se establece, dado que existen otros dos enunciados que lo permiten hacer, a afirmar que entre dos enunciados existe una determinada relación, basándose en que un tercer enunciado se relaciona con uno de un modo, con le otro del recíproco, teniendo en cuenta esa misma relación. La diferencia, que es la base de la separación de la lógica en proposicional y de de predicados, estriba en que en un caso el enunciado es la unidad mínima de análisis, mientras que en el otro éste es analizado en predicados y aquello de lo que se predica, argumento y función diría Frege.

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